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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

correspondant aux $\psi _{i}$ soient mesurables, et soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres quelconques. À un nombre $\varepsilon$ correspond un certain système de nombres $l_{i}$ ; soient $l_{p}$ le plus petit de ceux qui sont compris entre $\alpha$ et $\beta$, et $l_{p+q}$ le plus grand. L’ensemble

$\mathrm {E} (\psi _{p}=1)+\mathrm {E} (\psi _{p+1}=1)+\ldots +\mathrm {E} (\psi _{p+q}=1)=\mathrm {E} (\varepsilon )$

est mesurable ; or quand on donne à $\varepsilon$ une suite de valeurs décroissantes tendant vers zéro $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, …, on a

$\mathrm {E} [\alpha <f(x)<\beta ]=\mathrm {E} (\varepsilon _{1})+\mathrm {E} (\varepsilon _{2})+\ldots$,

donc ${\mathrm {E} [\alpha <f(x)<\beta ]}$ est mesurable.

Nous dirons qu’une fonction bornée ou non est mesurable si, quels que soient $\alpha$ et $\beta$, l’ensemble ${\mathrm {E} [\alpha <f(x)<\beta ]}$ est mesurable. Lorsqu’il en est ainsi, l’ensemble ${\mathrm {E} [f(x)=\alpha ]}$ est aussi mesurable, car il est la partie commune aux ensembles ${\mathrm {E} [\alpha -h<f(x)<\alpha +h]}$ quand $h$ tend vers zéro. On verrait de même que, pour qu’une fonction soit mesurable, il faut et il suffit que l’ensemble ${\mathrm {E} [\alpha <f(x)]}$ soit mesurable, quel que soit $\alpha$ ; ou encore qu’il faut et qu’il suffit que les ensembles ${\mathrm {E} [\alpha \leqq f(x)]}$ soient mesurables. On verrait aussi que $f(x)$ est mesurable si, et seulement si, pour chaque valeur de $\alpha$, il existe un ensemble, que nous noterons ${\mathrm {E} [\alpha \leqq f(x),\alpha <f(x)]}$, contenu dans ${\mathrm {E} [\alpha \leqq f(x)]}$ et contenant ${\mathrm {E} [\alpha <f(x)]}$ qui soit mesurable.

La somme de deux fonctions mesurables est une fonction mesurable. Soient les deux fonctions mesurables $f_{1}$ et $f_{2}$ ; à tout nombre $\varepsilon$ faisons correspondre une division de leur intervalle de variation, fini ou non, à l’aide de nombres $l_{i}$, tels que ${l_{i+1}-l_{i}}$ soit au plus égale à $\varepsilon$, et considérons les ensembles $\mathrm {E} _{ij}$ de valeurs de $x$, tels que l’on ait à la fois

$l_{i}<f_{1}(x)$,$l_{j}<f_{2}(x)$($l_{i}+l_{j}>\alpha$) ;

$\mathrm {E} _{ij}$ est mesurable comme partie commune à ${\mathrm {E} [l_{i}<f_{1}(x)]}$ et à ${\mathrm {E} [l_{j}<f_{2}(x)]}$.

La somme ${\mathrm {E} (\varepsilon )}$ des ensembles ${\mathrm {E} _{ij}}$ est mesurable, puisque chacun d’eux l’est ; et si l’on donne à $\varepsilon$ des valeurs $\varepsilon _{i}$ tendant vers zéro, on a

$\mathrm {E} [\alpha <f_{1}+f_{2}]=\mathrm {E} (\varepsilon _{1})+\mathrm {E} (\varepsilon _{2})+\ldots$,

donc ${f_{1}+f_{2}}$ est une fonction mesurable.

On démontrerait de même que l’on peut effectuer, sur des fonc-