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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

Un intervalle étant un ensemble mesurable, en appliquant les opérations I et II un nombre fini ou une infinité dénombrable de fois à partir d’intervalles, nous obtenons des ensembles mesurables ; ce sont ceux-là que M. Borel avait nommés ensembles mesurables, appelons-les ensembles mesurables B. Ce sont les plus importants des ensembles mesurables ; tandis que, pour un ensemble quelconque, nous pouvons seulement affirmer l’existence des deux nombres $m_{e}$ , $m_{i}$ , sans pouvoir dire quelle suite d’opérations il faut effectuer pour les calculer, il est facile d’avoir la mesure d’un ensemble mesurable B en suivant pas à pas la construction de cet ensemble. On se servira de la propriété 2′ toutes les fois qu’on utilisera l’opération I ; quand on se servira de l’opération II, on emploiera un théorème dont la démonstration est immédiate :

La mesure de la partie commune à des ensembles $\mathrm {E} _{1}$ , $\mathrm {E} _{2}$ , … est la limite de $m(\mathrm {E} _{i})$ si chaque ensemble $\mathrm {E} _{i}$ contient tous ceux d’indice plus grand^[1].

Les ensembles fermés sont mesurables B parce qu’ils sont les complémentaires d’ensembles formés des points intérieurs à un

rence est mesurable si $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$ le sont, car elle est la partie commune à $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {C(E_{2})}$ .

↑ M. Borel avait indiqué (note 1, p. 48 des Leçons sur la théorie des fonctions) les principes qui nous ont guidés dans la théorie de la mesure. Lorsque l’on cherche à construire des ensembles auxquels l’application de ces principes permet d’attacher une mesure, on est conduit de suite à la classe des ensembles mesurables B. Cette classe a, jusqu’ici, suffi pratiquement ; le principal avantage qu’il y a à raisonner sur les ensembles mesurables et non sur les seuls ensembles mesurables B, ce n’est pas qu’on envisage ainsi une classe plus vaste d’ensembles, mais c’est qu’on part de la propriété capitale des ensembles auxquels on peut attacher une mesure et non d’un procédé de construction en perpétuel devenir. Aussi on a pu, comme on l’a vu plus haut, démontrer très simplement la compatibilité des conditions du problème de la mesure pour tous les ensembles mesurables, alors que cette démonstration n’avait pas été obtenue quand on s’était borné à la considération des ensembles mesurables B.
Parmi les ensembles mesurables B, il semble que M. Borel n’ait tout d’abord considéré que ceux obtenus en effectuant seulement un nombre fini de fois les opérations I et II ; à la suite des rapprochements que j’ai faits entre les ensembles mesurables B et les fonctions considérées par M. Baire, l’usage s’est répandu d’adopter la définition du texte. Sur ces questions et sur l’existence d’ensembles non mesurables B, voir un Mémoire que j’ai publié dans le Journal de Mathématiques, en 1905, et le livre de M. de la Vallée Poussin, cité page 92. Pour les recherches les plus récentes, voir la collection des Fundamenta et un Mémoire de MM. Lusin et Sierpinski (Journ. de Math., 1923).

[1] M. Borel avait indiqué (note 1, p. 48 des Leçons sur la théorie des fonctions) les principes qui nous ont guidés dans la théorie de la mesure. Lorsque l’on cherche à construire des ensembles auxquels l’application de ces principes permet d’attacher une mesure, on est conduit de suite à la classe des ensembles mesurables B. Cette classe a, jusqu’ici, suffi pratiquement ; le principal avantage qu’il y a à raisonner sur les ensembles mesurables et non sur les seuls ensembles mesurables B, ce n’est pas qu’on envisage ainsi une classe plus vaste d’ensembles, mais c’est qu’on part de la propriété capitale des ensembles auxquels on peut attacher une mesure et non d’un procédé de construction en perpétuel devenir. Aussi on a pu, comme on l’a vu plus haut, démontrer très simplement la compatibilité des conditions du problème de la mesure pour tous les ensembles mesurables, alors que cette démonstration n’avait pas été obtenue quand on s’était borné à la considération des ensembles mesurables B.
Parmi les ensembles mesurables B, il semble que M. Borel n’ait tout d’abord considéré que ceux obtenus en effectuant seulement un nombre fini de fois les opérations I et II ; à la suite des rapprochements que j’ai faits entre les ensembles mesurables B et les fonctions considérées par M. Baire, l’usage s’est répandu d’adopter la définition du texte. Sur ces questions et sur l’existence d’ensembles non mesurables B, voir un Mémoire que j’ai publié dans le Journal de Mathématiques, en 1905, et le livre de M. de la Vallée Poussin, cité page 92. Pour les recherches les plus récentes, voir la collection des Fundamenta et un Mémoire de MM. Lusin et Sierpinski (Journ. de Math., 1923).

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