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CHAPITRE VII.

pour $m_{e}(\mathrm {E} )$ et $m_{i}(\mathrm {E} )$ montrent que ces deux quantités sont égales, l’ensemble $\mathrm {E}$ est donc mesurable et de mesure ${\textstyle \sum }m(\mathrm {E} _{i})$, la condition 2′ est bien vérifiée.

L’ensemble des ensembles mesurables contient l’ensemble des ensembles mesurables J, mais il est beaucoup plus vaste, comme on va le voir. On peut, en effet, sans sortir de l’ensemble des ensembles mesurables, effectuer sur des ensembles mesurables les deux opérations suivantes :

I. Faire la somme d’une infinité dénombrable d’ensembles ;

II. Prendre la partie commune à tous les ensembles d’une famille contenant un nombre fini ou une infinité dénombrable d’ensembles.

Pour le démontrer, remarquons d’abord que la seconde opération ne diffère pas essentiellement de la première, car si $\mathrm {E}$ est la partie commune à $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, …, $\mathrm {C(E)}$ est la somme de $\mathrm {C(E_{1})}$, $\mathrm {C(E_{2})}$, …. Il suffit donc de s’occuper de la première ; soit

$\mathrm {E=E_{1}+E_{2}+E_{3}+\ldots }$.

Si $\mathrm {E} '_{i}$ est l’ensemble des points de $\mathrm {E} _{i}$ ne faisant pas partie de ${\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}+\ldots +\mathrm {E} _{i-1}}$, on a

$\mathrm {E=E_{1}+E'_{2}+E'_{3}+\ldots }$,

les termes de la somme étant sans point commun deux à deux. Or, il est facile de voir que $\mathrm {E} '_{2}$ est mesurable ; en effet, enfermons $\mathrm {E} _{1}$ dans les intervalles $\alpha _{1}$, $\mathrm {C(E_{1})}$ dans les intervalles $\beta _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$ dans $\alpha _{2}$, $\mathrm {C(E_{2})}$ dans $\beta _{2}$ et soient $\varepsilon _{1}$ et $\varepsilon _{2}$ les longueurs des parties communes aux $\alpha _{1}$ et $\beta _{1}$ d’une part, aux $\alpha _{2}$ et $\beta _{2}$ d’autre part. Si $\alpha '_{2}$ et $\beta '_{2}$ sont les parties des $\alpha _{2}$ et $\beta _{2}$ communes aux $\beta _{1}$, $\mathrm {E} '_{2}$ peut être enfermé dans $\alpha '_{2}$ et $\mathrm {C(E'_{2})}$ dans ${\alpha _{1}+\beta '_{2}}$ et les parties communes à ces deux systèmes d’intervalles ont une mesure au plus égale à ${\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}$, donc $\mathrm {E} '_{2}$ est mesurable. De là résulte que

$\mathrm {E_{1}+E_{2}=E_{1}+E'_{2}}$,

est mesurable, donc que $\mathrm {E} '_{3}$, partie de $\mathrm {E} _{3}$ n’appartenant pas à l’ensemble mesurable $\mathrm {E_{1}+E_{2}}$, est mesurable et ainsi de suite. Tous les $\mathrm {E} '_{i}$ sont mesurables, $\mathrm {E}$ l’est^[1].

1. Si $\mathrm {E} _{1}$ contient $\mathrm {E} _{2}$, on peut parler de leur différence $\mathrm {E} _{1}-\mathrm {E} _{2}$. Cette diffé-