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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

De la définition des ensembles mesurables, il résulte qu’on peut enfermer $\mathrm {E} _{i}$ dans une infinité dénombrable d’intervalles $\alpha _{i}$ et $\mathrm {C_{AB}} (\mathrm {E} _{i})$ dans des intervalles $\beta _{i}$ de manière que la mesure des parties communes aux $\alpha _{i}$ et $\beta _{i}$ soit égale à $\varepsilon _{i}$ ; les $\varepsilon _{i}$ étant des nombres positifs choisis de manière que la série ${\textstyle \sum \varepsilon _{i}}$ soit convergente et de somme $\varepsilon$.

Soient $\alpha '_{2}$, $\beta '_{2}$ les parties des $\alpha _{2}$ et $\beta _{2}$ qui sont contenues dans les intervalles $\beta _{1}$ ; soient $\alpha '_{3}$, $\beta '_{3}$ les parties des $\alpha _{3}$, $\beta _{3}$ qui sont contenues dans les $\beta '_{2}$ et ainsi de suite. $\mathrm {E} _{i}$ est enfermé dans $\alpha '_{i}$. $\mathrm {E}$ est donc enfermé dans ${\alpha _{1}+\alpha '_{2}+\ldots }$, sa mesure extérieure est donc au plus égale à la somme ${m(\alpha _{1})+m(\alpha '_{2})+m(\alpha '_{3})+\ldots =s}$ ; évaluons cette somme. On a évidemment

${\begin{alignedat}{4}&m(\alpha _{1})&{}+{}&m(\beta _{1})&{}={}&m(\mathrm {AB} )&{}+{}&\varepsilon _{1},\\&m(\alpha '_{2})&{}+{}&m(\beta '_{2})&{}\leqq {}&m(\beta _{1})&{}+{}&\varepsilon _{2},\\&m(\alpha '_{i})&{}+{}&m(\beta '_{i})&{}\leqq {}&m(\beta '_{i-1})&{}+{}&\varepsilon _{i}\qquad (i>2),\\\end{alignedat}}$

d’où, par addition,

$m(\alpha _{1})+m(\alpha '_{2})+m(\alpha '_{3})+\ldots +m(\alpha '_{i})\leqq m(\mathrm {AB} )+\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\ldots +\varepsilon _{i},$

et ceci suffit pour montrer que la série $s$ est convergente ; d’ailleurs on a

$m(\mathrm {E_{i}} )\leqq m(\alpha '_{i})\leqq m(\alpha _{i})\leqq m(\mathrm {E_{i}} )+\varepsilon _{i}$,

donc $s$ est comprise entre $\textstyle \sum m(\mathrm {E} _{i})$ et ${\textstyle \sum m(\mathrm {E} _{i})+\varepsilon }$. Cela donne

$m_{e}(\mathrm {E} )\leqq {\textstyle \sum }\,m(\mathrm {E} _{i})$.

Le complémentaire de $\mathrm {E}$, $\mathrm {C_{AB}(E)}$, peut être enfermé dans $\beta '_{i}$ ; or $\beta '_{i}$ a, en commun avec ${\alpha _{1}+\alpha '_{2}+\alpha '_{3}+\ldots }$, les intervalles ${\alpha '_{i+1}+\alpha '_{i+2}+\ldots }$, plus une partie des intervalles communs, à $\alpha _{1},\beta _{1}$, une partie de ceux communs à $\alpha _{2},\beta _{2}$, …, une partie de ceux communs à $\alpha _{i},\beta _{i}$ ; $\beta '_{i}$ a donc une mesure au plus égale à

$[m(\mathrm {AB} )-s]+\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\ldots +\varepsilon _{i}+m(\alpha '_{i+1})+m(\alpha '_{i+2})+\ldots$,

et, par suite,

$m_{e}[\mathrm {C_{AB}(E)} ]\leqq m(\mathrm {AB} )-{\textstyle \sum }\,m(\mathrm {E} _{i})$,

c’est-à-dire

$m(\mathrm {AB} )-m_{e}[\mathrm {C_{AB}(E)} ]\geqq {\textstyle \sum }\,m(\mathrm {E} _{i})$,

ou

$m_{i}(\mathrm {E} )\geqq {\textstyle \sum }\,m(\mathrm {E} _{i})$.

Les limites inférieure et supérieure trouvées respectivement