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CHAPITRE VII.
la mesure extérieure de , et l’on a évidemment
.
Soit le complémentaire de par rapport à , c’est-à-dire l’ensemble des points ne faisant pas partie de et faisant partie d’un segment de contenant . On doit avoir
,
donc
;
la limite inférieure ainsi trouvée pour , limite qui est nécessairement positive ou nulle, s’appelle la mesure intérieure de , ; elle est évidemment supérieure ou au moins égale à l’étendue intérieure de .
Pour comparer les deux nombres , , nous nous servirons d’un théorème dû à M. Borel :
Soit l’un des intervalles contenant , la propriété à démontrer est évidente pour l’intervalle , si est compris entre et ; je veux dire que cet intervalle peut être couvert à l’aide d’un nombre fini d’intervalles , ce que j’exprime en disant que le point est atteint. Il faut démontrer que est atteint. Si est atteint, tous les points de le sont ; si n’est pas atteint, aucun des points de ne l’est. Il y a donc, si n’est pas atteint, un premier point non atteint, ou un dernier point atteint ; soit ce point. Il est intérieur à un intervalle , . Soient un point de , un point de ; est atteint par hypothèse, les intervalles en nombre fini qui servent à l’atteindre, plus l’intervalle , permettent d’atteindre ; n’est donc ni le dernier point atteint, ni le premier non atteint ; donc est atteint[2].
- ↑ Intérieur étant pris au sens étroit qui exclut les extrémités.
- ↑ M. Borel a donné, dans sa Thèse et dans ses Leçons sur la théorie des