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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

quant à la condition 1′ c’est la condition 1. Une explication est cependant nécessaire ; il y a deux espèces d’ensembles égaux : ceux que l’on peut faire coïncider par un glissement de $ox$ et ceux que l’on peut faire coïncider par une rotation de $\pi$ autour d’un point de $ox$ ; c’est aux premiers seulement que s’applique la condition 1′. Je n’ai pas mis cette restriction dans l’énoncé parce que, dans les raisonnements suivants, on peut s’astreindre à ne pas employer d’autres déplacements que des glissements et cependant on obtiendra toujours pour deux ensembles égaux de l’une ou l’autre manière des mesures égales^[1].

Une conséquence simple des conditions 1′, 2′, 3′ est que tout intervalle positif ${(a,b)}$ a pour mesure sa longueur ${b-a}$, que les extrémités fassent ou non partie de l’intervalle^[2].

Si l’on se reporte au Chapitre III, on voit immédiatement que, si le problème de la mesure est possible, on a

$e_{i}(\mathrm {E} )\leqq m(\mathrm {E} )\leqq e_{e}(\mathrm {E} )$ ;

pour les ensembles mesurables J, le problème de la mesure est possible au plus d’une manière et la mesure est l’étendue au sens de Jordan.

Soit maintenant un ensemble quelconque $\mathrm {E}$, nous pouvons enfermer ses points dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d’intervalles non empiétants ; la mesure de l’ensemble des points de ces intervalles est, d’après 2′, la somme des longueurs des intervalles ; cette somme est une limite supérieure de la mesure de $\mathrm {E}$. L’ensemble de ces sommes a une limite inférieure $m_{e}(\mathrm {E} )$,

1. Toutes les conditions du problème d’intégration pour les fonctions $\psi$ sont exprimées ; mais on pourrait craindre que cela ne suffise pas pour que les intégrales des fonctions quelconques, qui sont déterminées dès que les intégrales des fonctions $\psi$ le sont, satisfassent aussi à ces conditions. Ce qui suit montre que ces craintes ne sont pas justifiées.

   On pourrait le démontrer dès à présent, sans se servir de la valeur de l’intégrale des fonctions, et l’on pourrait aussi démontrer que, si l’on supprime les mots ou d’une infinité dénombrable dans 2′, on a un nouveau problème de la mesure qui correspond complètement au problème d’intégration posé avec les conditions 1, 2, 3, 4, 5 sans la condition 6.

2. Ceci a été déjà exprimé par l’égalité ${\int _{a}^{b}\mathrm {d} x=b-a}$.