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CHAPITRE VII.

par excès ; l’intégrale est donc comprise entre les intégrales par défaut et par excès. En particulier, si le problème d’intégration est possible pour les fonctions intégrables au sens de Riemann, il n’admet pas, pour ces fonctions, d’autre solution que l’intégrale de Riemann.

II. — La mesure des ensembles.

Occupons-nous maintenant des fonctions $\psi$ qui ne prennent que les valeurs 0 et 1. Une telle fonction est entièrement définie par l’ensemble ${\mathrm {E} [\psi (x)=1]}$ des valeurs où elle est différente de 0 ; l’intégrale d’une telle fonction, dans un intervalle positif, est un nombre positif ou nul qu’on peut considérer comme attaché à la partie de l’ensemble ${\mathrm {E} [\psi (x)=1]}$ comprise dans l’intervalle d’intégration. Si l’on traduit en langage géométrique les conditions du problème d’intégration des fonctions $\psi$ , on a un nouveau problème, le problème de la mesure des ensembles.

Pour l’énoncer, je rappelle que deux ensembles de points sur une droite sont dits égaux si, par le déplacement de l’un d’eux, on peut les faire coïncider, qu’un ensemble $\mathrm {E}$ est dit la somme des ensembles $e$ si tout point de $\mathrm {E}$ appartient à l’un au moins des $e$ ^[1]. Voici la question à résoudre :

Nous nous proposons d’attacher à chaque ensemble $\mathrm {E}$ borné, formé de points de $ox$ , un nombre positif ou nul, $m(\mathrm {E} )$ , que nous appelons la mesure de $\mathrm {E}$ et qui satisfait aux conditions suivantes :

1′. Deux ensembles égaux ont même mesure ;

2′. L’ensemble somme d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles, sans point commun deux à deux, a pour mesure la somme des mesures ;

3′. La mesure de l’ensemble de tous les points de (0, 1) est 1.

La condition 3′ remplace la condition 5 ; la condition 2′ provient de l’application des conditions 3 et 6 à la série

\psi =\psi _{1}+\psi _{2}+\ldots

,

dans laquelle tous les termes et la somme sont des fonctions $\psi$ ;

↑ Avec notre définition, les $e$ peuvent donc avoir des points communs.

[1] Avec notre définition, les $e$ peuvent donc avoir des points communs.

[1]