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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

Lorsque nous saurons intégrer les fonctions $\psi$ qui ne prennent que les valeurs 0 et 1, nous en déduirons, grâce aux conditions 3 et S, les intégrales des $\varphi (x)$ et $\Phi (x)$, lesquelles comprennent l’intégrale de $f(x)$ (conditions 3, 4)^[1].

De plus, $\varphi (x)$ et $\Phi (x)$ diffèrent de $f(x)$ de $\varepsilon$ au plus, donc tendent uniformément vers $f(x)$ quand $\varepsilon$ tend vers zéro ; il est facile d’en conclure que leurs intégrales tendent vers celle de $f(x)$.

En effet, si les limites inférieure et supérieure de $g(x)$ sont $m$ et $\mathrm {M}$, d’après 3 et 4, ${\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}$ est comprise entre

$\int _{a}^{b}m\,\mathrm {d} x=m\int _{a}^{b}\mathrm {d} x$et$\int _{a}^{b}\mathrm {M} \,\mathrm {d} x=\mathrm {M} \int _{a}^{b}\mathrm {d} x$ ;

faisons maintenant

$g(x)=f(x)-\varphi (x)$,

on a

$\varepsilon \geqq \mathrm {M} \geqq m\geqq 0$,

donc l’intégrale de $g(x)$ est inférieure en module à ${\varepsilon \int _{a}^{b}\mathrm {d} x}$, quantité qui tend vers zéro avec $\varepsilon$.

Pour savoir calculer l’intégrale d’une fonction quelconque, il suffit de savoir calculer les intégrales des fonctions $\psi$ qui ne prennent que les valeurs 0 et 1.

Il faut remarquer que nous avons démontré incidemment la possibilité d’intégrer terme à terme les séries uniformément convergentes, si le problème d’intégration est possible.

La quantité ${\int _{a}^{b}\mathrm {d} x}$ qui figure dans la démonstration précédente se calcule facilement ; en se servant de 1, de 2 et de 5, on voit qu’elle est égale à ${b-a}$.

Si la fonction $f(x)$ est comprise entre $l$ et $\mathrm {L}$, son intégrale dans ${(a,b)}$ est comprise entre ${l(b-a)}$ et ${\mathrm {L} (b-a)}$ ; c’est le théorème de la moyenne.

Si nous appliquons ce théorème après avoir décomposé ${(a,b)}$ en intervalles partiels, nous trouvons que ${\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ est comprise entre les sommes qui servent à définir les intégrales par défaut et

1. On suppose ici, pour quelques instants, le problème d’intégration possible.