satisfaisant aux conditions indiquées, et que, de plus, on ait démontré la compatibilité de ces conditions en choisissant une classe d’êtres y satisfaisant ; cette classe d’êtres sera la seule définie, de sorte que la définition constructive qui a servi à effectuer le choix est exactement équivalente à la définition descriptive donnée.
Nous allons rechercher une définition constructive équivalente à la définition descriptive de l’intégrale[1].
On démontrera d’abord sans peine en s’appuyant sur les conditions 3 et 4 que l’on a la condition S
(S) | , |
lorsque est une constante. Ceci posé, soit une fonction quelconque, nous désignerons par l’ensemble des valeurs de pour lesquelles on a , par l’ensemble des valeurs de pour lesquelles on a ; et nous emploierons d’autres notations analogues.
Soit un intervalle positif contenant à son intérieur l’intervalle de variation de [2] ; partageons cet intervalle en intervalles partiels à l’aide des nombres
supposons que ne soit jamais supérieur à .
Désignons par () la fonction égale à 1 quand appartient à , ou à , et nulle pour les autres points ; désignons par () la fonction égale à 1 quand appartient à , ou à et nulle pour les autres points. On a évidemment
- ↑ En se plaçant au même point de vue, on peut dire que les travaux exposés dans cet Ouvrage ont pour but principal la recherche d’une définition constructive équivalente à la définition descriptive des fonctions primitives.
- ↑ En d’autres termes, les limites inférieure et supérieure de sont comprises entre et mais non égales à ; avec les notations du texte, il n’y aurait ici rien à changer si et étaient égales aux limites de ; mais, à d’autres moments, nous aurions à prendre quelques précautions pour les valeurs extrêmes des indices à faire figurer dans les sommations. Ici, on pourrait n’étendre la première sommation que de 0 à et le second de 1 à .