Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/124

Cette page a été validée par deux contributeurs.

108

CHAPITRE VII.

satisfaisant aux conditions indiquées, et que, de plus, on ait démontré la compatibilité de ces conditions en choisissant une classe d’êtres y satisfaisant ; cette classe d’êtres sera la seule définie, de sorte que la définition constructive qui a servi à effectuer le choix est exactement équivalente à la définition descriptive donnée.

Nous allons rechercher une définition constructive équivalente à la définition descriptive de l’intégrale^[1].

On démontrera d’abord sans peine en s’appuyant sur les conditions 3 et 4 que l’on a la condition S

(S)

\int _{a}^{b}k\,f(x)\,\mathrm {d} x=k\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x

,

lorsque $k$ est une constante. Ceci posé, soit $f(x)$ une fonction quelconque, nous désignerons par ${\mathrm {E} [\alpha <f(x)<\beta ]}$ l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles on a $\alpha <f(x)<\beta$ , par ${\mathrm {E} [f(x)=\alpha ]}$ l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles on a ${f(x)=\alpha }$ ; et nous emploierons d’autres notations analogues.

Soit ${(l,\mathrm {L} )}$ un intervalle positif contenant à son intérieur l’intervalle de variation de $f(x)$ ^[2] ; partageons cet intervalle en intervalles partiels à l’aide des nombres

l_{0}=l<l_{1}<l_{2}<\ldots <l_{n}=\mathrm {L}

,

supposons que ${l_{i+1}-l_{i}}$ ne soit jamais supérieur à $\varepsilon$ .

Désignons par $\psi _{i}$ ( ${i=0,\,1,\,2,\,\ldots ,\,n}$ ) la fonction égale à 1 quand $x$ appartient à ${\mathrm {E} [f(x)=l_{i}]}$ , ou à ${\mathrm {E} [l_{i}<f(x)<l_{i+1}]}$ , et nulle pour les autres points ; désignons par $\Psi _{i}$ ( ${i=0,\,1,\,2,\,\ldots ,\,n}$ ) la fonction égale à 1 quand $x$ appartient à ${\mathrm {E} [l_{i-1}<f(x)<l_{i}]}$ , ou à ${\mathrm {E} [f(x)=l_{i}]}$ et nulle pour les autres points. On a évidemment

\varphi (x)=\sum _{i=0}^{i=n}l_{i}\psi _{i}(x)\leqq f(x)\leqq \sum _{i=0}^{i=n}l_{i}\Psi _{i}(x)=\Phi (x)

.

↑ En se plaçant au même point de vue, on peut dire que les travaux exposés dans cet Ouvrage ont pour but principal la recherche d’une définition constructive équivalente à la définition descriptive des fonctions primitives.
↑ En d’autres termes, les limites inférieure et supérieure de $f(x)$ sont comprises entre $l$ et $\mathrm {L}$ mais non égales à ${(l,\mathrm {L} )}$ ; avec les notations du texte, il n’y aurait ici rien à changer si $l$ et $\mathrm {L}$ étaient égales aux limites de $f(x)$ ; mais, à d’autres moments, nous aurions à prendre quelques précautions pour les valeurs extrêmes des indices à faire figurer dans les sommations. Ici, on pourrait n’étendre la première sommation que de 0 à ${n-1}$ et le second de 1 à $n$ .

[1] En se plaçant au même point de vue, on peut dire que les travaux exposés dans cet Ouvrage ont pour but principal la recherche d’une définition constructive équivalente à la définition descriptive des fonctions primitives.

[2] En d’autres termes, les limites inférieure et supérieure de $f(x)$ sont comprises entre $l$ et $\mathrm {L}$ mais non égales à ${(l,\mathrm {L} )}$ ; avec les notations du texte, il n’y aurait ici rien à changer si $l$ et $\mathrm {L}$ étaient égales aux limites de $f(x)$ ; mais, à d’autres moments, nous aurions à prendre quelques précautions pour les valeurs extrêmes des indices à faire figurer dans les sommations. Ici, on pourrait n’étendre la première sommation que de 0 à ${n-1}$ et le second de 1 à $n$ .

[1]

[2]