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CHAPITRE VI.

d’une courbe ayant des tangentes, l’une et l’autre intégration sont insuffisantes^[1].

J’ajoute encore que si les deux intégrations que nous avons étudiées paraissent en général suffisantes, cela tient uniquement à ce que, presque toujours, on se restreint de parti pris à la considération des fonctions continues, et même souvent à la considération des fonctions analytiques.

↑ Il est facile de voir que ${\sqrt {1+\left[\left(x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\right)'\right]^{2}}}$ n’est pas une dérivée exacte.
Partant de là, on démontrera sans peine que la quantité ${\sqrt {1+\mathrm {F} '(x)^{2}}}$ , où $\mathrm {F}$ est la fonction à dérivée non intégrable de M. Volterra, n’est intégrable ni au sens de Riemann, ni au sens de Duhamel.

La courbe ${y=\mathrm {F} (x)}$ ne peut donc être rectifiée ni par l’une, ni par l’autre des deux méthodes employées.

Pour l’application indiquée dans la Note précédente, les deux intégrations sont aussi insuffisantes, comme on le voit en considérant la somme d’une dérivée non intégrable représentable trigonométriquement, et d’une fonction non dérivée représentable trigonométriquement.

[1] Il est facile de voir que ${\sqrt {1+\left[\left(x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\right)'\right]^{2}}}$ n’est pas une dérivée exacte.
Partant de là, on démontrera sans peine que la quantité ${\sqrt {1+\mathrm {F} '(x)^{2}}}$ , où $\mathrm {F}$ est la fonction à dérivée non intégrable de M. Volterra, n’est intégrable ni au sens de Riemann, ni au sens de Duhamel.

La courbe ${y=\mathrm {F} (x)}$ ne peut donc être rectifiée ni par l’une, ni par l’autre des deux méthodes employées.

Pour l’application indiquée dans la Note précédente, les deux intégrations sont aussi insuffisantes, comme on le voit en considérant la somme d’une dérivée non intégrable représentable trigonométriquement, et d’une fonction non dérivée représentable trigonométriquement.

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