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L’INTÉGRATION DÉFINIE À L’AIDE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

au sens de Cauchy, a pu montrer que les deux définitions de la continuité étaient fort différentes^[1].

Il est facile de citer des fonctions discontinues qui ne passent pas d’une valeur à une autre sans prendre, une fois au moins, chaque valeur intermédiaire. C’est le cas de la fonction égale à $\sin {\frac {1}{x}}$ pour ${x\neq 0}$ et à n’importe quelle valeur de l’intervalle (−1, +1) pour ${x=0}$.

Il est assez curieux qu’une fonction puisse jouir de cette propriété qui a été prise pour définition de la continuité et être cependant discontinue en tout point. Pour construire une telle fonction, j’écris le nombre $x$, pris entre 0 et 1, dans un système de numération, le système décimal par exemple

$x={\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+{\frac {a_{3}}{10^{3}}}+\ldots$.

Considérons la suite des chiffres de rang impair $a_{1}$, $a_{3}$, $a_{5}$, …. Si elle n’est pas périodique, nous prendrons ${\varphi (x)=0}$ ; si elle est périodique, et si la première période commence à $a_{2n-1}$ nous prendrons

$\varphi (x)={\frac {a_{2n}}{10}}+{\frac {a_{2n+2}}{10^{2}}}+{\frac {a_{2n+4}}{10^{3}}}+{\frac {a_{2n+6}}{10^{4}}}+\ldots$.

Il est évident que la fonction $\varphi (x)$ ainsi définie prend toutes les valeurs de (0, 1) dans un intervalle quelconque si petit qu’il soit, donc $\varphi (x)$ est discontinue en tout point ; d’ailleurs $\varphi (x)$ ne prend pas de valeurs extérieures à (0, 1), donc $\varphi (x)$ ne passe pas d’une valeur $a$ à une autre $b$ sans prendre toutes les valeurs de (0, 1), et, a fortiori, toutes les valeurs comprises entre $a$ et $b$.

Il faut aussi remarquer que, avec la définition critiquée par Darboux, la somme de deux fonctions continues n’est plus nécessairement une fonction continue. En effet, si

$f_{1}(x)=\sin {\frac {1}{x}}$pour$x\neq 0$et$f_{1}(0)=1$,

1. On me permettra de signaler qu’en 1903 on enseignait encore dans un lycée de Paris la définition critiquée dès 1875 par Darboux. Cela est d’autant plus étonnant que la propriété qui est énoncée dans la définition de Cauchy est celle qui intervient directement dans presque toutes les démonstrations, tandis que la propriété des fonctions continues et dérivées n’est guère employée que dans le théorème des substitutions et ses conséquences.