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CHAPITRE VI.
s’annulent pour . Soit celle des fonctions primitives de qui s’annule par . Il faut démontrer que .
Tous les sont positifs, donc croît avec . Mais, puisque est au moins égale à , est au moins égale à , et tend vers une limite , au plus égale à .
Le même raisonnement appliqué à l’intervalle positif montre que est au moins égale à , et par suite , dérivée de , est au moins égale à .
D’autre part est supérieure à , donc est au moins égale à la dérivée de , et, puisque est quelconque, est au moins égale à .
a donc une dérivée à droite égale à ; en raisonnant de même sur l’intervalle négatif , on voit que admet aussi pour dérivée à gauche ; le théorème est démontré.
Nous pouvons dire aussi : si des fonctions dérivées tendent en croissant vers une fonction dérivée , leurs fonctions primitives tendent vers la fonction primitive de si les constantes sont choisies convenablement.
On peut écrire en effet
,
et tous les termes, qui sont des fonctions dérivées, sont positifs, à l’exception peut-être du premier.
Le théorème est encore vrai si, au lieu de considérer des fonctions croissant avec l’entier , on considère des fonctions dérivées croissant avec le paramètre et tendant vers une fonction dérivée quand tend vers .
Enfin, il faut remarquer qu’il est nécessaire de savoir que la fonction , limite ou somme, est une fonction dérivée, pour avoir le droit d’appliquer le théorème précédent : la fonction
tend en croissant, quand augmente indéfiniment, vers la fonction partout nulle sauf pour où elle est égale à −1. Cependant est une fonction dérivée et n’en est pas une.
Ces deux propriétés vont nous permettre d’effectuer la recherche des fonctions primitives dans des cas étendus.