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CHAPITRE VI.

s’annulent pour ${x=a}$. Soit ${\mathcal {F}}$ celle des fonctions primitives de $f$ qui s’annule par ${x=a}$. Il faut démontrer que ${\mathrm {F} ={\mathcal {F}}}$.

Tous les $\mathrm {U} _{i}$ sont positifs, donc $\mathrm {S} _{n}$ croît avec $n$. Mais, puisque $f$ est au moins égale à $s_{n}$, ${\mathcal {F}}(x)$ est au moins égale à $\mathrm {S} _{n}(x)$, et $\mathrm {S} _{n}(x)$ tend vers une limite $\mathrm {F} (x)$, au plus égale à ${\mathcal {F}}(x)$.

Le même raisonnement appliqué à l’intervalle positif ${(x,x+h)}$ montre que ${{\mathcal {F}}(x+h)-{\mathcal {F}}(x)}$ est au moins égale à ${\mathrm {F} (x+h)-\mathrm {F} (x)}$, et par suite $f(x)$, dérivée de ${\mathcal {F}}(x)$, est au moins égale à $\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)$.

D’autre part ${\mathrm {F} (x+h)-\mathrm {F} (x)}$ est supérieure à ${\mathrm {S} _{n}(x+h)-\mathrm {S} _{n}(x)}$, donc $\lambda _{d}\mathrm {F} (x)$ est au moins égale à la dérivée $s_{n}(x)$ de $\mathrm {S} _{n}(x)$, et, puisque $n$ est quelconque, $\lambda _{d}\mathrm {F} (x)$ est au moins égale à $f(x)$.

$\mathrm {F} (x)$ a donc une dérivée à droite égale à $f(x)$ ; en raisonnant de même sur l’intervalle négatif ${(x,x-h)}$, on voit que $\mathrm {F} (x)$ admet aussi $f(x)$ pour dérivée à gauche ; le théorème est démontré.

Nous pouvons dire aussi : si des fonctions dérivées $f_{n}$ tendent en croissant vers une fonction dérivée $f$, leurs fonctions primitives tendent vers la fonction primitive de $f(x)$ si les constantes sont choisies convenablement.

On peut écrire en effet

$f=f_{1}+(f_{2}-f_{1})+(f_{3}-f_{2})+\ldots$,

et tous les termes, qui sont des fonctions dérivées, sont positifs, à l’exception peut-être du premier.

Le théorème est encore vrai si, au lieu de considérer des fonctions $f_{n}(x)$ croissant avec l’entier $n$, on considère des fonctions dérivées ${f(x,\alpha )}$ croissant avec le paramètre $\alpha$ et tendant vers une fonction dérivée $f$ quand $\alpha$ tend vers $\alpha _{0}$.

Enfin, il faut remarquer qu’il est nécessaire de savoir que la fonction $f$, limite ou somme, est une fonction dérivée, pour avoir le droit d’appliquer le théorème précédent : la fonction

$f(x,\alpha )=-e^{-\alpha x^{2}}$

tend en croissant, quand $\alpha$ augmente indéfiniment, vers la fonction $f(x)$ partout nulle sauf pour ${x=0}$ où elle est égale à −1. Cependant ${f(x,\alpha )}$ est une fonction dérivée et $f(x)$ n’en est pas une.

Ces deux propriétés vont nous permettre d’effectuer la recherche des fonctions primitives dans des cas étendus.