ter des adeptes pour la révolution, mais pour se rassurer lui-même. Il croyait en effet, et il croit encore, que pour faire œuvre utile il faut marcher dans l’une des voies ouvertes par les travaux antérieurs ; qu’on risquerait trop, en agissant autrement, de créer une science sans rapport avec le reste des mathématiques. Aussi s’était-il efforcé de dégager les idées qui avaient guidé, consciemment ou inconsciemment, les mathématiciens dans l’étude de l’intégration, leur idéal dans ce domaine eût dit le regretté P. Boutroux, et de montrer que ses idées personnelles étaient en liaison étroite avec celles de ses devanciers.
C’est avec la même timidité que j’avais parlé des nombres transfinis. J’avais pu procéder par allusions et affirmations parce que je n’utilisais en somme que des transformations de séries simplement infinies en séries plus complexes fournies par le procédé des chaînes d’intervalles. Mais, pour la totalisation de M. Denjoy, j’ai dû développer la Note que j’avais consacrée aux nombres transfinis.
De cette Note il résulte, en particulier, que j’aurais pu éviter l’emploi des chaînes d’intervalles et, par suite, ne plus faire appel au transfini en bien des endroits de ce Livre. J’ai cru qu’il y aurait des inconvénients et quelque hypocrisie à le faire. Je m’explique par analogie. Les infiniment petits étaient jadis des êtres obscurs qui intervenaient dans des énoncés imprécis et inexacts ; tout est devenu clair grâce à la notion de limite. On peut, dès lors, se passer de la notion d’infiniment petit ; mais, d’autre part, il n’y a plus aucune obscurité à l’employer. Et n’y aurait-il pas quelque hypocrisie à défendre aux autres l’emploi du langage si suggestif et si commode des infiniment petits, si l’on continuait à l’utiliser soi-même pour chercher des raisonnements ? Les chaînes d’intervalles s’introduisent tout naturellement, les nombres transfinis sont un excellent outil mathématique, il convient de s’habituer à les employer.
Pour mieux faire comprendre la totalisation de M. Denjoy,
