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CHAPITRE V.

appeler valeur moyenne dans ${(a,b)}$ d’une fonction intégrable $f(x)$ la quantité ${{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ ; puis on appelle valeur moyenne au point $x_{0}$ la limite, si elle existe, de la valeur moyenne dans ${(x_{0}-h,x_{0}+k)}$ , quand les nombres positifs $h$ et $k$ tendent vers zéro ; et l’on a l’énoncé suivant :

Pour qu’une fonction intégrable soit une fonction dérivée, il faut et il suffit qu’elle ait en tout point une valeur moyenne déterminée et qu’elle soit partout égale à sa valeur moyenne.

V. — L’intégration riemannienne considérée comme l’opération inverse de la dérivation.

Nous avons vu que l’on a généralisé de différentes manières le problème des fonctions primitives ; recherchons maintenant si l’une de ces généralisations permet de considérer l’intégration au sens de Riemann comme le problème inverse de la dérivation.

Si nous nous rappelons qu’une intégrale indéfinie admet comme dérivée la fonction intégrée en tous les points où celle-ci est continue, nous sommes conduits à nous poser, avec M. Volterra, le problème suivant : Rechercher une fonction continue qui admette une fonction bornée donnée $f(x)$ pour dérivée en tous les points où $f(x)$ est continue^[1].

Ce problème est toujours possible, car les deux intégrales par défaut et par excès de $f(x)$ répondent à la question. Mais il est en général indéterminé, c’est-à-dire que toutes ses solutions ne sont pas comprises dans une formule de la forme $\mathrm {F} (x)+{\text{const.}}$ Lorsque $f(x)$ n’est pas intégrable, le problème est toujours indéterminé. Si $f(x)$ est intégrable, il se peut que le problème soit déterminé ; par exemple quand l’ensemble des points de disconti-

↑ En réalité, M. Volterra recherche les fonctions qui admettent $f(x)$ pour dérivée en tous les points qui ne sont ni des points de discontinuité de $f(x)$ , ni des points limites de discontinuités. De plus M. Volterra suppose implicitement que les fonctions qu’il recherche ont des nombres dérivés bornés. Pour ces deux raisons les résultats qu’il obtient ne sont pas ceux du texte ; d’ailleurs toute fonction est évidemment solution du problème de M. Volterra, si les points de discontinuité de $f(x)$ forment un ensemble partout dense, tandis qu’il n’y a alors que des fonctions très particulières qui satisfont à l’énoncé du texte.

[1] En réalité, M. Volterra recherche les fonctions qui admettent $f(x)$ pour dérivée en tous les points qui ne sont ni des points de discontinuité de $f(x)$ , ni des points limites de discontinuités. De plus M. Volterra suppose implicitement que les fonctions qu’il recherche ont des nombres dérivés bornés. Pour ces deux raisons les résultats qu’il obtient ne sont pas ceux du texte ; d’ailleurs toute fonction est évidemment solution du problème de M. Volterra, si les points de discontinuité de $f(x)$ forment un ensemble partout dense, tandis qu’il n’y a alors que des fonctions très particulières qui satisfont à l’énoncé du texte.

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