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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

partout, sauf peut-être aux points de $\mathrm {Z}$, lequel est de mesure nulle.

Les théorèmes précédents peuvent être avantageusement transformés ; pour ces transformations j’utiliserai une généralisation heureuse de la notion de la limite inférieure et supérieure qui est due à M. Baire^[1].

Soit une fonction $f(x)$ ; la limite supérieure de $f(x)$, dans un intervalle ${(a,b)}$, est un nombre $\mathrm {L}$ tel que l’ensemble ${\mathrm {E} (f>m)}$, formé des points $x$ de ${(a,b)}$ tels que $f(x)$ soit supérieure à $m$, existe dès que $m$ est inférieur à $\mathrm {L}$, tandis qu’il ne contient aucun point pour ${m>\mathrm {L} }$ ; la limite inférieure de $f(x)$ dans l’intervalle ${(a,b)}$ peut se définir de même.

Il existe de même un nombre $\mathrm {L} _{1}$ tel que l’ensemble ${\mathrm {E} (f>m)}$ est dénombrable pour ${m>\mathrm {L} _{1}}$ et ne l’est pas pour ${m<\mathrm {L} _{1}}$. Ce nombre $\mathrm {L} _{1}$ est appelé par M. Baire la limite supérieure de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, quand on néglige les ensembles dénombrables.

Cet exemple suffira pour faire comprendre ce qu’il faudra entendre par la limite supérieure ou inférieure, dans un intervalle ou en un point, d’une fonction quand on néglige les ensembles dénombrables, ou les ensembles non denses, ou les ensembles de mesure nulle. Si, en négligeant certains ensembles, on obtient des limites inférieure et supérieure égales, on pourra dire que, à ces ensembles près, la fonction est continue.

Ces définitions posées, voici les deux propositions que j’avais en vue : Les limites inférieure et supérieure d’un nombre dérivé sont les mêmes, que l’on néglige ou non les ensembles dénombrables.

Les limites inférieure et supérieure d’un nombre dérivé fini sont les mêmes, que l’on néglige ou non les ensembles de mesure nulle.

Je démontre, par exemple, la première de ces deux propositions. Si les limites supérieures $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} _{1}$ d’un nombre dérivé ${\Lambda _{d}\varphi (x)}$, obtenues en tenant compte puis sans tenir compte des ensembles dénombrables, sont inégales, et si $\mathrm {K}$ est un nombre fini compris entre $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} _{1}$, le nombre dérivé ${\Lambda _{d}[\varphi (x)-\mathrm {K} x]}$ est négatif, sauf pour les points d’un ensemble dénombrable pour lesquels il est positif.

1. Thèse Sur les fonctions de variables réelles (Annali di Matematica, 1900).