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Le même raisonnement appliqué à l’intervalle positif ${(x,x+h)}$ montre que ${{\mathcal {F}}(x+h)-{\mathcal {F}}(x)}$ est au moins égale à ${\mathrm {F} (x+h)-\mathrm {F} (x)}$, et par suite $f(x)$, dérivée de ${\mathcal {F}}(x)$, est au moins égale à $\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)$.

D’autre part ${\mathrm {F} (x+h)-\mathrm {F} (x)}$ est supérieure à ${\mathrm {S} _{n}(x+h)-\mathrm {S} _{n}(x)}$, donc $\lambda _{d}\mathrm {F} (x)$ est au moins égale à la dérivée $s_{n}(x)$ de $\mathrm {S} _{n}(x)$, et, puisque $n$ est quelconque, $\lambda _{d}\mathrm {F} (x)$ est au moins égale à $f(x)$.

$\mathrm {F} (x)$ a donc une dérivée à droite égale à $f(x)$ ; en raisonnant de même sur l’intervalle négatif ${(x,x-h)}$, on voit que $\mathrm {F} (x)$ admet aussi $f(x)$ pour dérivée à gauche ; le théorème est démontré.

Nous pouvons dire aussi : si des fonctions dérivées $f_{n}$ tendent en croissant vers une fonction dérivée $f$, leurs fonctions primitives tendent vers la fonction primitive de $f(x)$ si les constantes sont choisies convenablement.

On peut écrire en effet

$f=f_{1}+(f_{2}-f_{1})+(f_{3}-f_{2})+\ldots$,

et tous les termes, qui sont des fonctions dérivées, sont positifs, à l’exception peut-être du premier.

Le théorème est encore vrai si, au lieu de considérer des fonctions $f_{n}(x)$ croissant avec l’entier $n$, on considère des fonctions dérivées ${f(x,\alpha )}$ croissant avec le paramètre $\alpha$, et tendant vers une fonction dérivée $f$ quand $\alpha$ tend vers $\alpha _{0}$.

Enfin, il faut remarquer qu’il est nécessaire de savoir que la fonction $f$, limite ou somme, est une fonction dérivée, pour avoir le droit d’appliquer le théorème précédent : la fonction

$f(x,\alpha )=-e^{-\alpha x^{2}}$

tend en croissant, quand $\alpha$ augmente indéfiniment, vers la fonction $f(x)$ partout nulle sauf pour ${x=0}$ où elle est égale à −1. Cependant ${f(x,\alpha )}$ est une fonction dérivée et $f(x)$ n’en est pas une.

Ces deux propriétés vont nous permettre d’effectuer la recherche des fonctions primitives dans des cas étendus.

Tout d’abord, quand une fonction est la somme d’une série uniformément convergente de fonctions dérivées, c’est une fonction dérivée dont nous savons trouver les fonctions primitives. Voici une application théorique importante.

Soit une fonction continue $f(x)$ définie dans ${(a,b)}$. Marquons