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la série donnée et la série des fonctions primitives, laquelle est, par hypothèse, convergente pour une certaine valeur $x_{0}$.

Choisissons $n$ assez grand, pour que l’on ait, quel que soit $p$ positif,

$\left\vert s_{n+p}(x)-s_{n}(x)\right\vert <\varepsilon$ ;

le théorème des accroissements finis donne, si ${(a,b)}$ est l’intervalle considéré,

${\begin{alignedat}{2}\left\vert \mathrm {S} _{n+p}(x)-\mathrm {S} _{n}(x)\right\vert &<\varepsilon \,|x-x_{0}|&&+\left\vert \mathrm {S} _{n+p}(x_{0})-\mathrm {S} _{n}(x_{0})\right\vert \\&\leqq \varepsilon \,(b-a)&&+\left\vert \mathrm {S} _{n+p}(x_{0})-\mathrm {S} _{n}(x_{0})\right\vert .\end{alignedat}}$

Cette inégalité montre que la série $\mathrm {F}$ est uniformément convergente dans ${(a,b)}$, puisqu’elle est convergente pour $x_{0}$.

Évaluons le rapport

$r[\mathrm {F} (x),x,x+h]={\frac {\mathrm {F} (x+h)-\mathrm {F} (x)}{h}}=\Lambda \mathrm {F} (x)$,

$\Lambda \mathrm {F} =\Lambda \mathrm {S} _{n}+\Lambda \mathrm {R} _{n}=\Lambda \mathrm {S} _{n}+\lim _{p=\infty }\Lambda (\mathrm {S} _{n+p}-\mathrm {S} _{n})$.

La quantité $\Lambda (\mathrm {S} _{n+p}-\mathrm {S} _{n})$ est inférieure en valeur absolue à $\varepsilon$, d’après le théorème des accroissements finis, donc, si l’on fait tendre $h$ vers zéro, l’une quelconque des limites de $\Lambda \mathrm {F}$ ne diffère que de $\varepsilon$ au plus de la limite $s_{n}(x)$ de $\Lambda \mathrm {S} _{n}$. Puisque $\varepsilon$ est quelconque, il est ainsi démontré que $\mathrm {F} (x)$ admet $f(x)$ pour dérivée.

Ce théorème permet aussi d’employer le principe de condensation des singularités à la construction de fonctions dérivées.

Lorsqu’une fonction dérivée est donnée par une série de fonctions dérivées non négatives, on peut prendre les fonctions primitives terme à terme à condition de choisir les constantes de manière que la série obtenue soit convergente.

Pour le démontrer, je conserve les notations précédentes, et je suppose, pour simplifier le langage, que la série $\mathrm {F}$ soit convergente pour l’origine de l’intervalle ${(a,b)}$ considéré et que $\mathrm {U} _{1},\mathrm {U} _{2},\ldots$ s’annulent pour ${x=a}$. Soit ${\mathcal {F}}$ celle des fonctions primitives de $f$ qui s’annule par ${x=a}$. Il faut démontrer que ${\mathrm {F} ={\mathcal {F}}}$.

Tous les $\mathrm {U} _{i}$ sont positifs, donc $\mathrm {S} _{n}$ croît avec $n$. Mais, puisque $f$ est au moins égale à $s_{n}$, ${\mathcal {F}}(x)$ est au moins égale à $\mathrm {S} _{n}(x)$, et $\mathrm {S} _{n}(x)$ tend vers une limite $\mathrm {F} (x)$, au plus égale à ${\mathcal {F}}(x)$.