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CHAPITRE VI.

L’INTÉGRALE DÉFINIE À L’AIDE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

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I. — Recherche directe des fonctions primitives.

Nous avons obtenu des théorèmes permettant théoriquement, dans des cas étendus, de reconnaître si une fonction donnée est une fonction dérivée et, s’il en est ainsi, de trouver sa fonction primitive. En réalité, un seul de ces théorèmes est employé couramment : toute fonction continue est une fonction dérivée. Quant au calcul effectif des fonctions primitives il ne se fait jamais au moyen de l’intégrale définie^[1], mais à l’aide des procédés connus sous le nom d’intégration par parties et d’intégration par substitution. Ces deux procédés s’appliquent, qu’il s’agisse de fonctions continues ou non.

On peut aussi utiliser le théorème suivant : Une série uniformément convergente de fonctions dérivées représente une fonction dérivée.

Sa fonction primitive s’obtient en faisant la somme des fonctions primitives des termes de la série donnée, les constantes étant choisies de manière que la série obtenue soit convergente pour l’une des valeurs de la variable.

Soient

${\begin{alignedat}{9}f&=u_{1}&&+u_{2}&&+\ldots &&=u_{1}&&+\ldots &&+u_{n}&&+r_{n}&&=s_{n}&&+r_{n},\\\mathrm {F} &=\mathrm {U} _{1}&&+\mathrm {U} _{2}&&+\ldots &&=\mathrm {U} _{1}&&+\ldots &&+\mathrm {U} _{n}&&+\mathrm {R} _{n}&&=\mathrm {S} _{n}&&+\mathrm {R} _{n},\end{alignedat}}$

1. Cependant il est parfois possible d’effectuer pratiquement la recherche d’une fonction primitive à l’aide d’intégrales définies. On trouvera un exemple d’une telle recherche dans l’Introduction à l’étude des fonctions d’une variable réelle de M. J. Tannery, p. 284.