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de ces généralisations permet de considérer l’intégration au sens de Riemann comme le problème inverse de la dérivation.

Si nous nous rappelons qu’une intégrale indéfinie admet comme dérivée la fonction intégrée en tous les points où celle-ci est continue, nous sommes conduits à nous poser, avec M. Volterra, le problème suivant : Rechercher une fonction continue qui admette une fonction bornée donnée $f(x)$ pour dérivée en tous les points où $f(x)$ est continue^[1].

Ce problème est toujours possible, car les deux intégrales par défaut et par excès de $f(x)$ répondent à la question. Mais il est en général indéterminé, c’est-à-dire que toutes ses solutions ne sont pas comprises dans une formule de la forme $\mathrm {F} (x)+{\text{const.}}$ Lorsque $f(x)$ n’est pas intégrable, le problème est toujours indéterminé. Si $f(x)$ est intégrable, il se peut que le problème soit déterminé ; c’est le cas quand l’ensemble des points de discontinuité est réductible, mais il se peut aussi qu’il soit indéterminé. Il en est ainsi lorsque l’ensemble des points de discontinuité contient un ensemble parfait $\mathrm {E}$ ; nous avons appris, p. 13, à former une fonction continue non partout constante, mais constante dans tout intervalle contigu à $\mathrm {E}$ ; cette fonction, ajoutée à une fonction solution du problème proposé, donne une nouvelle solution de ce problème.

Ainsi notre problème comprend comme cas particulier le problème de l’intégration indéfinie riemannienne, mais il est plus vaste que ce dernier problème.

Proposons-nous maintenant de trouver une fonction à nombres dérivés bornés qui admette une fonction bornée donnée $f(x)$ comme dérivée en tous les points où $f(x)$ est continue.

Ce nouveau problème est toujours possible et admet encore pour solutions les deux intégrales de $f(x)$ ; mais, si $f(x)$ est intégrable,

↑ En réalité, M. Volterra recherche les fonctions qui admettent $f(x)$ pour dérivée en tous les points qui ne sont ni des points de discontinuité de $f(x)$ , ni des points limites de discontinuités. De plus M. Volterra suppose implicitement que les fonctions qu’il recherche ont des nombres dérivés bornés. Pour ces deux raisons les résultats qu’il obtient ne sont pas ceux du texte ; d’ailleurs toute fonction est évidemment solution du problème de M. Volterra, si les points de discontinuité de $f(x)$ forment un ensemble partout dense, tandis qu’il n’y a alors que des fonctions très particulières qui satisfont à l’énoncé du texte.

[1] En réalité, M. Volterra recherche les fonctions qui admettent $f(x)$ pour dérivée en tous les points qui ne sont ni des points de discontinuité de $f(x)$ , ni des points limites de discontinuités. De plus M. Volterra suppose implicitement que les fonctions qu’il recherche ont des nombres dérivés bornés. Pour ces deux raisons les résultats qu’il obtient ne sont pas ceux du texte ; d’ailleurs toute fonction est évidemment solution du problème de M. Volterra, si les points de discontinuité de $f(x)$ forment un ensemble partout dense, tandis qu’il n’y a alors que des fonctions très particulières qui satisfont à l’énoncé du texte.

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