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l’on a

$f(x)=\lim _{h=0}{\frac {\mathrm {F} (x+h)-\mathrm {F} (x)}{h}}$.

On a donc un procédé régulier de calcul permettant de reconnaître si $f$ est ou non une dérivée exacte. Il est vrai qu’il faut rechercher si une certaine expression a ou non la limite connue $f(x)$ ; mais une dérivée étant par définition une limite, il est peu probable qu’on puisse remplacer le procédé de calcul indiqué par un autre dans lequel on n’emploierait pas les limites.

Nous avons trouvé une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction intégrable soit une dérivée ; elle ne se présente pas sous la forme que l’on donne habituellement à de telles conditions. Le plus souvent on énonce, comme condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un fait A, l’existence d’une propriété B qui accompagne toujours le fait A et est toujours accompagnée par lui ; mais, pour que l’on ait autre chose qu’une tautologie, il faut que l’on connaisse un procédé régulier de calcul permettant de savoir si l’on a ou non la propriété B. C’est ce procédé qui a été directement donné pour le cas qui nous occupe.

Si l’on tient à énoncer la condition nécessaire et suffisante trouvée sous la forme habituelle, on pourra, comme le fait M. Darboux, appeler valeur moyenne dans ${(a,b)}$ d’une fonction intégrable $f(x)$ la quantité ${{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ ; puis on appelle valeur moyenne au point $x_{0}$ la limite, si elle existe, de la valeur moyenne dans ${(x_{0}-h,x_{0}+k)}$, quand les nombres positifs $h$ et $k$ tendent vers zéro ; et l’on a l’énoncé suivant :

Pour qu’une fonction intégrable soit une fonction dérivée, il faut et il suffit qu’elle ait en tout point une valeur moyenne déterminée et qu’elle soit partout égale à sa valeur moyenne.

V. — L’intégration riemannienne considérée comme l’opération inverse de la dérivation.

Nous avons vu que l’on a généralisé de différentes manières le problème des fonctions primitives ; recherchons maintenant si l’une