vers zéro,
De cette inégalité il résulte en particulier que : si l’un des nombres dérivés d’une fonction est intégrable, auquel cas les trois autres le sont aussi et ont même intégrale, son intégrale indéfinie est de la forme ; et cet énoncé, plus particulier encore : lorsqu’une dérivée est intégrable, il y a identité entre ses fonctions primitives et ses intégrales indéfinies.
Ces énoncés s’appliqueraient évidemment au cas où la fonction donnée deviendrait infinie au voisinage des points d’un ensemble réductible, à condition d’employer la généralisation de l’intégrale qui a été indiquée page 66.
Si nous tenons compte des théorèmes énoncés à la fin du Paragraphe précédent, nous voyons que si l’on connaît partout le nombre dérivé, sauf pour les valeurs d’un ensemble dénombrable, — ou si on le connaît partout, sauf pour les valeurs d’un ensemble de mesure nulle, et si l’on sait de plus qu’il est borné partout, — on peut encore appliquer les théorèmes précédents, à condition d’étendre les intégrales qui y figurent à l’ensemble dans lequel on connaît le nombre dérivé.
À cette remarque s’en rattache une autre plus importante. Le cas dans lequel nous savons résoudre le problème C′ est celui où le nombre dérivé donné est intégrable. Ce nombre dérivé a alors des points de continuité ; en ces points il y a une dérivée égale au nombre dérivé donné, et l’on connaît partout la dérivée de la fonction inconnue, sauf aux points de discontinuité, c’est-à-dire sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle. Il suffirait de se servir des valeurs connues de la dérivée pour avoir la fonction. Le cas résolu du problème problème C′ se ramène donc en réalité au problème C.
Les raisonnements qui précèdent nous permettent de répondre aux questions B et B′ dans un cas important, celui où la fonction donnée est intégrable. Pour reconnaître, par exemple, si une fonction intégrable donnée est une dérivée exacte, on formera son intégrale indéfinie , puis on recherchera si
