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valle ou en un point, d’une fonction quand on néglige les ensembles dénombrables, ou les ensembles non denses, ou les ensembles de mesure nulle. Si, en négligeant certains ensembles, on obtient des limites inférieure et supérieure égales, on pourra dire, qu’à ces ensembles près, la fonction est continue.

Ces définitions posées, voici les deux propositions que j’avais en vue : Les limites inférieure et supérieure d’un nombre dérivé sont les mêmes, que l’on néglige ou non les ensembles dénombrables.

Les limites inférieure et supérieure d’un nombre dérivé fini sont les mêmes, que l’on néglige ou non les ensembles de mesure nulle.

Je démontre, par exemple, la première de ces deux propositions. Si les limites supérieures $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} _{1}$ d’un nombre dérivé ${\Lambda _{d}\varphi (x)}$, obtenues en tenant compte puis sans tenir compte des ensembles dénombrables, sont inégales, et si $\mathrm {K}$ est un nombre fini compris entre $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} _{1}$, le nombre dérivé ${\Lambda _{d}[\varphi (x)-\mathrm {K} x]}$ est négatif, sauf pour les points d’un ensemble dénombrable pour lesquels il est positif. Or il suffit de reprendre, en le modifiant légèrement, l’un ou l’autre des deux raisonnements qui nous ont conduits au théorème de Scheeffer, pour voir que cela est impossible.

IV. — Recherche de la fonction dont un nombre dérivé est connu.

Nous allons essayer de résoudre les problèmes B′ et C′ dans le cas où la fonction $f(x)$, donnée comme $\Lambda _{d}$, est bornée.

Divisons l’intervalle positif ${(a,b)}$ en intervalles partiels. Dans ${(\alpha ,\beta )}$ les limites inférieure et supérieure de $f(x)$ sont $l$ et $\mathrm {L}$, donc on a, si $\mathrm {F}$ est la fonction cherchée telle que

${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)=f(x)}$,
$(\beta -\alpha )l\leqq \mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\leqq (\beta -\alpha )\mathrm {L}$.

Si nous faisons la somme des inégalités analogues, relatives aux intervalles partiels, nous avons, en faisant tendre ces intervalles