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l’accroissement ${f(b)-f(a)}$ de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, le nombre $\textstyle \varepsilon \sum h$ augmenté de la somme des accroissements de $f(x)$ dans les intervalles $\delta _{1}$. La somme $\lambda$ des longueurs des $\delta _{1}$ est plus petite que la somme relative aux $d$, donc elle est aussi petite que l’on veut. Cela ne permet pas d’en conclure en général que la somme correspondante des accroissements de $f(x)$ est aussi petite que l’on veut ; mais si $f_{1}(x)$ et $f_{2}(x)$ ont des nombres dérivés inférieurs en valeur absolue à $\mathrm {M}$, cette somme est inférieure à $2\mathrm {M} \lambda$. Ainsi :

Une fonction $f(x)$, à nombres dérivés bornés, est déterminée, à une constante additive près, quand on connaît son nombre dérivé supérieur à droite, pour toute valeur de $x$, sauf pour celles d’un ensemble de mesure nulle.

Cet énoncé ne nous fournit aucun renseignement relativement à l’indétermination du problème C′ quand le nombre dérivé donné n’est pas borné, puisque $f(x)$ est supposé à nombres dérivés bornés. Cette restriction est d’ailleurs nécessaire : la fonction $\xi (x)$, page 55, n’est pas une constante, elle a sa dérivée nulle partout, sauf peut-être aux points de $\mathrm {Z}$ qui est de mesure nulle.

Les théorèmes précédents peuvent être avantageusement transformés ; pour ces transformations j’utiliserai une généralisation heureuse de la notion de limite inférieure et supérieure qui est due à M. Baire^[1].

Soit une fonction $f(x)$ ; la limite supérieure de $f(x)$, dans un intervalle ${(a,b)}$, est un nombre $\mathrm {L}$ tel que l’ensemble ${\mathrm {E} (f>m)}$, formé des points $x$ de ${(a,b)}$ tels que $f(x)$ soit supérieure à $m$, existe dès que $m$ est inférieur à $\mathrm {L}$, tandis qu’il ne contient aucun point pour ${m>\mathrm {L} }$ ; la limite inférieure de $f(x)$ dans l’intervalle ${(a,b)}$ peut se définir de même.

Il existe de même un nombre $\mathrm {L} _{1}$ tel que l’ensemble ${\mathrm {E} (f>m)}$ est dénombrable pour ${m>\mathrm {L} _{1}}$ et ne l’est pas pour ${m<\mathrm {L} _{1}}$. Ce nombre $\mathrm {L} _{1}$ est appelé par M. Baire la limite supérieure de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, quand on néglige les ensembles dénombrables.

Cet exemple suffira pour faire comprendre ce qu’il faudra entendre par la limite supérieure ou inférieure, dans un inter-

1. Thèse : Sur les fonctions de variables réelles (Annali di Matematica, 1900).