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nous pouvons encore citer la fonction $\varphi (x)$, p. 13, la fonction $\xi (x)$, p. 55.

La démonstration précédente est assez artificielle, en voici une autre :

Les deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ ayant même $\Lambda _{d}$ en tout point, sauf peut-être aux points de $\mathrm {E}$, la fonction ${f(x)=f_{1}-f_{2}}$ a, en tout point n’appartenant pas à $\mathrm {E}$, un $\Lambda _{d}$ positif ou nul et un $\lambda _{d}$ négatif ou nul. Si $\alpha$ est un tel point, faisons-lui correspondre le plus grand intervalle ${(\alpha ,\alpha +h)}$ tel que l’on ait

$f(\alpha +h)-f(\alpha )<\varepsilon h$.

Supposons les points de $\mathrm {E}$ rangés en suite simplement infinie, $x_{1},x_{2},\ldots$. À $x_{n}$ faisons correspondre le plus grand intervalle ${(x_{n},x'_{n})}$ tel que l’on ait

$f(x'_{n})-f(x_{n})<{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}$.

Chaque point de ${(a,b)}$ est maintenant l’origine d’un intervalle $\delta$ attaché à ce point ; nous pouvons couvrir ${(a,b)}$, à partir de $a$, à l’aide d’une chaîne d’intervalles $\delta$, p. 63. Servons-nous de ces intervalles pour calculer ${f(b)-f(a)}$, nous trouvons que cette quantité est au plus égale à

${\varepsilon \textstyle \sum h}+{\varepsilon \textstyle \sum {}}{\frac {1}{2^{n}}}\leqq \varepsilon (b-a+1)$ ;

or $\varepsilon$ est quelconque, donc ${f(b)=f(a)}$ ; et, puisque ce raisonnement pourrait être employé pour une partie quelconque de ${(a,b)}$, la fonction $f(x)$ est constante.

Ce mode de démonstration conduit à un autre résultat. Supposons que $\mathrm {E}$ soit, non plus nécessairement dénombrable, mais seulement de mesure nulle. Cela veut dire que les points de $\mathrm {E}$ peuvent être recouverts à l’aide d’une infinité dénombrable d’intervalles $d$ dont la somme des longueurs est aussi petite que l’on veut.

L’intervalle $\delta$ attaché à un point ne faisant pas partie de $\mathrm {E}$ a été défini. À un point $\mathrm {P}$ de $\mathrm {E}$ nous faisons maintenant correspondre, comme intervalle $\delta$, l’intervalle $\delta _{1}$ dont l’origine est $\mathrm {P}$ et dont l’extrémité est l’extrémité de l’intervalle $d$ contenant $\mathrm {P}$.

Nous recouvrons ${(a,b)}$ à partir de $a$ à l’aide d’une chaîne d’intervalles $\delta$ et $\delta _{1}$ ; cette chaîne donne, comme limite supérieure de