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un point $x_{c}$ de $\mathrm {E}$. Mais, si $c$ et $c_{1}$ sont différents, $x_{c}$ et $x_{c_{1}}$ le sont, car l’égalité

$\varphi _{c}(x_{c})=\varphi _{c_{1}}\!(x_{c_{1}}\!)=0$

entraîne

$c\,(x_{c}-a)=c_{1}(x_{c_{1}}-a)$

et $x_{c}$ est différent de $a$.

Donc, pour que l’égalité (1) soit possible, il faudrait que $\mathrm {E}$ ait la puissance du continu^[1].

Une conséquence de cette propriété, signalée par Ludwig Scheeffer, est qu’une fonction est déterminée quand on connaît sa dérivée pour toutes les valeurs irrationnelles. Mais une fonction n’est pas déterminée quand on connaît, pour chaque valeur rationnelle de $x$, la valeur finie de sa dérivée. Pour le prouver, soient $x_{1},x_{2},\ldots$ les nombres rationnels positifs. Traçons un intervalle $\delta _{1}$ de longueur incommensurable, ayant $x_{1}$ comme milieu. Soit $x_{\alpha _{2}}$ le premier des $x_{i}$ ne faisant pas partie de $\delta _{1}$ ; traçons un intervalle $\delta _{2}$ de longueur incommensurable, de milieu $x_{\alpha _{2}}$ et n’empiétant pas sur $\delta _{1}$. Si $x_{\alpha _{3}}$ est le premier des $x_{i}$ qui ne fait partie ni de $\delta _{1}$, ni de $\delta _{2}$, $x_{\alpha _{3}}$ est le milieu d’un intervalle incommensurable n’empiétant ni sur $\delta _{1}$, ni sur $\delta _{2}$, et ainsi de suite.

La fonction $f(x)$, égale à la somme des longueurs des intervalles $\delta$ et des parties d’intervalles $\delta$, compris entre 0 et $x$, est une fonction continue croissante de $x$, qui admet +1 comme dérivée pour toutes les valeurs rationnelles de $x$. Et cependant cette fonction n’est pas nécessairement de la forme $x+{\text{const.}}$, puisque ${f(+\infty )-f(0)}$ est la somme des longueurs des $\delta$, somme qui a telle valeur positive que l’on veut.

La fonction continue ${f(x)-1}$ n’est pas constante et dans tout intervalle il existe des points où sa dérivée est nulle.

C’est à l’occasion d’une fonction dont la dérivée s’annule dans tout intervalle que Ludwig Scheeffer a entrepris ses recherches sur la détermination d’une fonction par ses nombres dérivés.

Comme fonctions dont la dérivée s’annule dans tout intervalle

1. La démonstration précédente est, à très peu près, celle de L. Scheeffer. J’ai respecté aussi son énoncé, mais il est bon de remarquer que la démonstration suppose seulement que $\mathrm {E}$ n’a pas la puissance du continu, ce qui ne signifie peut-être pas que $\mathrm {E}$ est dénombrable.