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quand on connaît pour chaque valeur de $x$, sauf peut-être pour celles d’un ensemble dénombrable $\mathrm {E}$, la valeur finie du nombre dérivé supérieur à droite de cette fonction.

Soient $f_{1}(x)$ et $f_{2}(x)$ les deux fonctions ayant en général le même nombre dérivé supérieur à droite fini ; nous allons démontrer que l’on a toujours

$f_{1}(x)-f_{2}(x)=f_{1}(a)-f_{2}(a)$,

et pour cela nous démontrerons que l’égalité

(1)

$f_{1}(b)-f_{2}(b)=f_{1}(a)-f_{2}(a)-\mathrm {H}$

où $\mathrm {H}$ est différent de zéro est impossible. Il suffit de considérer le cas où $\mathrm {H}$ est positif, puisque l’autre cas se réduit à celui-là par le changement de $f_{1}$ et $f_{2}$ ; de même on peut supposer ${b>a}$.

Considérons la fonction

$\phi _{c}(x)=c(x-a)+f_{1}(x)-f_{2}(x)-f_{1}(a)+f_{2}(a)+{\frac {\mathrm {H} }{2}}$,

dans laquelle $c$ est une constante telle que

$0<c<{\frac {\mathrm {H} }{2(b-a)}}$.

Alors

$\varphi _{c}(a)={\frac {\mathrm {H} }{2}}>0$,$\varphi _{c}(b)=c(b-a)-{\frac {\mathrm {H} }{2}}<0$ ;

la fonction $\varphi _{c}$ étant continue s’annule entre $a$ et $b$ ; soit $x_{c}$ la plus grande des valeurs comprises entre $a$ et ${\displaystyle }$ qui annule $\varphi _{c}$. On a évidemment

$\Lambda _{d}\varphi _{c}(x_{c})\leqq 0$.

On peut conclure de là que $x_{c}$ est un point de $\mathrm {E}$.

En effet, nous avons démontré, p. 74, que pour tout point n’appartenant pas à $\mathrm {E}$, on a

$\Lambda _{d}[f_{1}(x)-f_{2}(x)]\geqq 0$ ;

donc pour ces points on a

$\Lambda _{d}\varphi _{c}(x)\geqq c>0$.

À chaque valeur $c$ de l’intervalle ${\left[0,{\frac {\mathrm {H} }{2(b-a)}}\right]}$ correspond ainsi