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La fonction ${f_{1}(x)-f_{2}(x)}$ n’a donc jamais ses deux nombres dérivés à droite différents de zéro et de même signe, elle est constante.

Notre proposition est démontrée. La démonstration ne suppose pas que la fonction soit à nombres dérivés bornés, mais elle suppose que le nombre dérivé donné est fini, sans quoi le terme du milieu, dans l’inégalité qui nous a servi, n’aurait aucun sens.

Il serait très intéressant de savoir si, dans tous les cas, une fonction est déterminée, à une constante additive près, par l’un de ses nombres dérivés ; cette question n’a pas encore été tranchée, même dans la cas de la dérivée ordinaire, si l’on admet qu’une dérivée peut être infinie : on sait que deux fonctions, qui ont toujours la même dérivée, ne diffèrent que par une constante lorsque cette dérivée est finie ; pour le cas général on ne sait rien.

On peut cependant étendre le résultat précédent à certains nombres dérivés non toujours finis, quand l’ensemble des points où le nombre dérivé est infini est assez simple. Par exemple, si le nombre fini ${\Lambda _{d}f(x)}$ est donné pour toute valeur de la variable, sauf pour les points d’un ensemble $\mathrm {E}$, la fonction continue $f(x)$ est déterminée à une constante additive près dans tout intervalle contigu à $\mathrm {E}$ ; donc il en est aussi de même dans tout intervalle si $\mathrm {E}$ est réductible, comme on le voit en reprenant les raisonnements employés au Chapitre I, à l’occasion des recherches de Cauchy et Dirichlet.

Nous aurons un résultat analogue toutes les fois que nous connaîtrons un ensemble solution de l’un des problèmes suivants :

D. En quel ensemble de points suffit-il de connaître la dérivée finie d’une fonction pour que cette fonction soit déterminée à une constante additive près ?

D′. En quel ensemble de points suffit-il de connaître la valeur finie du nombre dérivé supérieur à droite d’une fonction pour que cette fonction soit déterminée à une constante additive près ?

Nous venons de citer une famille d’ensembles répondant à la question : les ensembles réductibles ; on doit à Ludwig Scheeffer une solution plus générale :

Une fonction est déterminée, à une constante additive près,