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III. — Fonctions déterminées par un de leurs nombres dérivés.

Revenons à la recherche des fonctions primitives. Le problème :

A. Trouver une fonction dont la dérivée soit une fonction donnée,

n’admet pas en général de solution. Aussi le remplace-t-on par deux autres :

B. Reconnaître si une fonction donnée est une fonction dérivée.

C. Trouver une fonction connaissant sa dérivée.

À ces problèmes correspondent les suivants :

A′. Trouver une fonction dont le nombre dérivé supérieur à droite (ou l’un des autres nombres dérivés) est donné.

B′. Reconnaître si une fonction donnée est le nombre dérivé supérieur à droite d’une fonction inconnue.

C′. Trouver une fonction connaissant son nombre dérivé supérieur à droite.

Nous allons d’abord préciser l’indétermination de la solution du problème C′ en démontrant qu’une fonction est déterminée, à une constante additive près, quand on connaît la valeur finie de l’un des nombres dérivés pour chaque valeur de la variable.

Soient, en effet, deux fonctions $f_{1}(x)$ et $f_{2}(x)$ ayant en chaque point le même nombre dérivé supérieur à droite. Nous avons, par hypothèse,

$\Lambda _{d}f_{1}(x)=\Lambda _{d}f_{2}(x)$

et aussi

$\lambda _{d}[-f_{2}(x)]=-\Lambda _{d}f_{2}(x)$,

comme on le voit en se reportant à la définition géométrique ou analytique des nombres dérivés. Cette définition fournit aussi l’inégalité

$\lambda _{d}[f_{1}(x)-f_{2}(x)]\leqq \Lambda _{d}f_{1}(x)+\lambda _{d}[-f_{2}(x)]\leqq \Lambda _{d}[f_{1}(x)-f_{2}(x)]$,

dans laquelle le terme du milieu est nul.