droite 
parallèlement à elle-même en 
de manière qu’elle coupe 
.
Au-dessus de il y a des arcs de , soit 
l’un d’eux. Au point 
de , 
et 
sont évidemment supérieurs ou au moins égaux au coefficient angulaire de , c’est-à-dire à ![{\displaystyle {r[f(x),a,b]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54a500b9510a8a487af2659a424721e9974da4a)
et la propriété est démontrée dans ce cas.
Enfin si n’a pas de point au-dessus de (fig. 3), je déplace parallèlement à elle-même vers 
, et soit la dernière Fig. 3.
position dans laquelle elle ait des points communs avec . Si est l’un quelconque de ces points, en ce point et sont au moins égaux à ; la propriété est démontrée dans tous les cas.
Du théorème précédent il résulte que les quatre nombres dérivés ont la même limite supérieure et la même limite inférieure dans tout intervalle.
Comparons, en effet, les limites supérieures 
et 
de et 
. Puisque a pour limite et que est la limite de rapports ![{\displaystyle {r[f(x),\alpha ,\beta ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968a2cf088de6cfa52088c19a782b4a9f11bf072)
, où 
et 
appartiennent à l’intervalle considéré 
, on peut trouver et dans tels que soit supérieur à 
. Le maximum de dans 
, donc dans , est par suite au moins égal à . Ceci suffit pour démontrer que et 
sont égaux.
La valeur commune de et est en même temps la limite supérieure du rapport .
La propriété énoncée pour les limites supérieure et inférieure dans un intervalle entraîne la même propriété pour les limites
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position dans laquelle elle ait des points communs avec . Si est l’un quelconque de ces points, en ce point et sont au moins égaux à ; la propriété est démontrée dans tous les cas.
