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Il existe pour les nombres dérivés une proposition analogue au théorème des accroissements finis^[1] :

Si $\mathrm {L}$ et $l$ sont les limites supérieure et inférieure de l’un quelconque des quatre nombres dérivés de la fonction $f(x)$ dans ${(a,b)}$, on a

$l\leqq r[f(x),a,b]\leqq \mathrm {L}$.

Je suppose que $l$ et $\mathrm {L}$ soient relatifs à $\Lambda _{d}$ et je vais démontrer seulement qu’il existe des valeurs de $\Lambda _{d}$ au moins égales à

$r[f(x),a,b]$.

J’adopte pour cela le langage géométrique parce qu’il me paraît plus expressif ; on le traduira facilement si l’on veut en langage analytique.

La propriété est évidente si la courbe $\mathrm {C}$ qui représente $f(x)$ se réduit à la corde $\mathrm {AB}$ joignant ses extrémités (fig. 2).

S’il n’en est pas ainsi et s’il existe des points de la courbe $\mathrm {C}$ au-dessus Fig. 2.
de $\mathrm {AB}$ (c’est-à-dire du côté de ${y=+\infty }$), je déplace la

1. On sait que ce théorème s’énonce ainsi :

   Si une fonction $f(x)$ est continue dans l’intervalle ${(a,b)}$, et admet une dérivée bien déterminée pour chaque valeur de $x$ intérieure à ${(a,b)}$, il existe un nombre $\xi$ de cet intervalle tel que

   $f(b)-f(a)=f'(\xi )(b-a)$

   Cet énoncé ne suppose pas que $f'(x)$ soit bornée ou même finie, mais si $f'(x)$ est infinie, ce doit être $+\infty$, ou $-\infty$, et non pas $\pm \infty$.