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sante ni décroissante à droite de ${x=x_{0}}$, mais si l’un des deux est nul on ne peut plus rien dire.

Lorsque ${\Lambda _{d}=\lambda _{d}}$ on dit que la fonction admet une dérivée à droite, égale à $\Lambda _{d}$ ; si ${\Lambda _{g}=\lambda _{g}}$, la valeur de $\Lambda _{g}$ est dérivée à gauche.

Si ${\Lambda _{d}=\lambda _{d}=\Lambda _{g}=\lambda _{g}}$, la fonction a une dérivée égale à $\Lambda _{d}$. Cette définition est identique à la définition classique, sauf le cas où ${\Lambda _{d}=\pm \infty }$^[1].

Faisons une application de ces définitions à l’intégrale. Le théorème de la moyenne donne

$l\leqq r[\mathrm {F} (x),\alpha ,\beta ]\leqq \mathrm {L}$,

si $\mathrm {F}$ est l’une quelconque des trois intégrales indéfinies et si $l$ et $\mathrm {L}$ sont les limites inférieure et supérieure de $f$ dans ${(\alpha ,\beta )}$ ; on peut même supposer que $\alpha$ est exclu de l’intervalle ${(\alpha ,\beta )}$.

Si nous faisons tendre $\beta$ vers $\alpha$ par valeurs plus petites que $\alpha$, nous voyons que le nombre dérivé supérieur à gauche pour ${x=\alpha }$ d’une des intégrales indéfinies d’une fonction bornée $f(x)$, est au plus égal à la limite supérieure de $f(x)$ à gauche de $\alpha$ et le nombre dérivé inférieur de $f(x)$ à gauche est au moins égal à la limite inférieure de $f(x)$, à gauche de $\alpha$.

Supposons que ${f(\alpha -0)}$ existe, alors les deux limites de $f(x)$ à gauche de $\alpha$ sont ${f(\alpha -0)}$, donc : quand ${f(\alpha -0)}$ existe, l’une quelconque des intégrales indéfinies de la fonction bornée $f(x)$ admet, pour ${x=\alpha }$, une dérivée à gauche égale à ${f(\alpha -0)}$.

On raisonne de même pour les nombres dérivés et la dérivée à droite.

La fonction de Riemann $\sum {\frac {(nx)}{n^{2}}}$, n’admettant que des points de discontinuité de première espèce, conduit à une intégrale indéfinie qui a, en tout point, une dérivée à droite et une dérivée à gauche déterminée. C’est en somme l’existence de ces dérivées à droite et à gauche qui a été démontrée à la page 65.

Si ${f(\alpha -0)}$ et ${f(\alpha +0)}$ existent et sont égales, l’intégrale de $f(x)$ admet la valeur commune de ${f(\alpha -0)}$ et ${f(\alpha +0)}$ pour dérivée, quand ${x=\alpha }$, quel que soit le nombre $f(\alpha )$.

1. Avec cette définition ${\sqrt[{3}]{x}}$ admet une dérivée déterminée, $+\infty$, pour ${x=0}$.