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qui a appelé l’attention sur l’intégrale indéfinie de la fonction

$f(x)=\sum {\frac {(nx)}{n^{2}}}$^[1].

Cette intégrale indéfinie $\mathrm {F} (x)$ admet $f(x)$ pour dérivée quand $x$ n’est pas de la forme ${\frac {2p+1}{2n}}$.

Supposons ${\alpha ={\frac {2p+1}{2n}}}$ et faisons tendre $\beta$ vers $\alpha$ par valeurs croissantes, on a vu que $f(\beta )$ tend vers ${f(\alpha )+{\frac {\pi ^{2}}{16n^{2}}}}$ donc, d’après le théorème de la moyenne, il en est aussi de même de ${\frac {\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )}{\beta -\alpha }}$.

Au contraire, ce rapport tendra vers ${f(\alpha )-{\frac {\pi ^{2}}{16n^{2}}}}$ si l’on fait tendre $\beta$ vers $\alpha$ par valeurs décroissantes ; donc $\mathrm {F} (x)$ n’a pas de dérivée pour les valeurs de la forme ${\frac {2p+1}{2n}}$.

C’est le premier exemple que l’on ait connu d’une fonction n’admettant pas, en général, une dérivée. On connaissait bien des fonctions, celle de Cauchy, par exemple, $+{\sqrt {x^{2}}}$, qui, en certains points, n’avaient pas de dérivée ; mais ces points étaient exceptionnels, ils ne formaient jamais un ensemble partout dense ; dans l’exemple de Riemann, au contraire, il y a des points sans dérivée dans tout intervalle. Le principe de condensation des singularités nous donnera autant d’exemples que nous le voudrons de fonctions analogues à celles de Riemann ; si les $a_{p}$ sont tous les nombres rationnels, ${\int \sum {\frac {\cos {{\mathcal {L}}\left\vert x-a_{p}\right\vert }}{p^{2}}}\,\mathrm {d} x}$ est une ces fonctions.

L’intégration fournit des fonctions qui n’ont pas toujours une dérivée. Par une méthode toute différente, Weierstrass a construit une fonction n’ayant jamais de dérivée^[2] ; il est évident que l’intégration ne peut pas donner de telles fonctions : Les points en lesquels une intégrale indéfinie n’admet pas de dérivée forment un ensemble de mesure nulle, puisque ces points appartiennent

1. Voir page 15. L’intégrale indéfinie s’obtient en intégrant terme à terme.
2. Voir Journal de Crelle, vol. 79, ou Jordan, Cours d’Analyse, 2^e édition, t. I, p. 316.

   La fonction de Weierstrass est à variation non bornée dans tout intervalle.