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CHAPITRE V.

LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

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I. — L’intégrale indéfinie.

Soit $f(x)$ une fonction bornée intégrable définie dans ${(a,b)}$ ; la fonction

$\mathrm {F} (x)=\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x+\mathrm {K}$

est l’intégrale indéfinie de $f(x)$.

En appliquant le théorème de la moyenne on voit que l’intégrale indéfinie de $f(x)$ est une fonction continue, à variation bornée^[1], et qu’elle admet $f(x)$ pour dérivée en tous les points où $f(x)$ est continue.

Que se passe-t-il si $f(x)$ n’est pas continue en $\alpha$ ? Alors il se peut qu’il y ait une dérivée égale à $f(\alpha )$, c’est le cas pour ${\alpha =0}$ si $f(x)$ est nulle pour $x$ quelconque, et égale à 1 quand $x$ est l’inverse d’un entier ; il se peut qu’il y ait une dérivée différente de $f(\alpha )$, c’est le cas pour ${\alpha =0}$ quand $f(x)$ est partout nulle sauf pour ${x=0}$ ; il se peut qu’il n’y ait pas de dérivée, c’est le cas pour ${\alpha =0}$ quand ${f(x)=\cos {{\mathcal {L}}|x|}}$ pour ${x\neq 0}$ et ${f(0)=0}$^[2].

Ainsi l’intégration peut conduire à des fonctions n’ayant pas partout une dérivée. Cette conséquence a été signalée par Riemann

1. Je laisse au lecteur le soin de démontrer que la variation totale de $\mathrm {F} (x)$ dans ${(a,b)}$ est exactement égale à ${\left\vert \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x\right\vert }$.
2. L’intégrale indéfinie est alors ${\frac {x}{2}}(\sin {{\mathcal {L}}|x|}+\cos {{\mathcal {L}}|x|})$.