Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1904.djvu/74

${\delta t_{0}{\sqrt {{x'_{0}}^{2}+{y'_{0}}^{2}+{z'_{0}}^{2}}}}$ ; et nous pouvons même assujettir $\delta t_{0}$ à être inférieur à une certaine quantité donnée à l’avance $\lambda$.

La courbe étant définie dans ${(a,b)}$, du point ${a=t_{1}}$ comme origine, nous pouvons tracer une corde remplissant les conditions indiquées ; elle correspond à ${(t_{1},t_{2})}$. De $t_{2}$ nous pouvons tracer une nouvelle corde qui correspond à ${(t_{2},t_{3})}$ et ainsi de suite. Si après un nombre fini d’opérations on arrive en $b$, la construction est ainsi achevée. Sinon les $t_{n}$ ont un point limite $t_{\omega }$ à partir duquel, comme origine, on peut tracer une corde ${(t_{\omega },t_{\omega +1})}$, puis de $t_{\omega +1}$ on trace ${(t_{\omega +1},t_{\omega +2})}$ et ainsi de suite. Si l’on n’atteint pas $b$, on se rapproche d’un point limite $t_{2\omega }$, à partir duquel on opère de même qu’à partir de $t_{\omega }$.

On a ainsi des intervalles dont les origines $t_{\alpha }$ ont pour indices les différents nombres finis et transfinis $\alpha$. Il faut démontrer qu’on arrivera en $b$ avant d’avoir épuisé la suite des nombres transfinis, c’est-à-dire à l’aide d’une infinité dénombrable d’intervalles ${(t_{\alpha },t_{\alpha +1})}$. Cela est tout à fait évident, car il n’y a pas plus de ${\frac {b-a}{\varepsilon }}$ intervalles de longueur supérieure à $\varepsilon$, et tous les intervalles, étant supérieurs en longueur à l’un des nombres $\varepsilon ,{\frac {\varepsilon }{2}},{\frac {\varepsilon }{3}},\ldots$, forment un ensemble fini ou dénombrable.

L’ensemble des valeurs $t_{1},t_{2},\ldots$ est réductible, puisqu’il est fermé et dénombrable ; donc on peut se servir des cordes tracées pour évaluer la longueur de la courbe. La somme des longueurs de ces cordes diffère de la somme

$\mathrm {I} =\sum (t_{\alpha +1}-t_{\alpha }){\sqrt {{x'}^{2}(t_{\alpha })+{y'}^{2}(t_{\alpha })+{z'}^{2}(t_{\alpha })}}$,

au plus de

$\varepsilon \textstyle \sum (t_{\alpha +1}-t_{\alpha })=\varepsilon (b-a)$.

Si nous faisons tendre simultanément $\varepsilon$ et $\lambda$ vers zéro, ${\varepsilon (b-a)}$ tend vers zéro, la somme des longueurs des cordes tend vers la longueur $s$ de la courbe, $\mathrm {I}$ tend donc vers $s$. Mais, d’après la forme de $\mathrm {I}$, on peut écrire, si ${\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}$ est bornée,

${\underline {\int _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t}}\leqq s\leqq {\overline {\int _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t}}$.

Supposons maintenant que ${\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}$, bornée ou non,