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et si l’on élève au carré ou si l’on prend la racine carrée arithmétique d’une fonction intégrable, on ne cesse pas d’avoir des fonctions intégrables.

Si $l,m,n$, $\mathrm {L} ,\mathrm {M} ,\mathrm {N}$ sont les limites inférieures et supérieures de $|x'|,|y'|,|z'|$ dans un intervalle ${(t_{1},t_{2})}$, les sommes telles que ${\textstyle \sum (t_{2}-t_{1})(\mathrm {L} -l)}$, étendues à une division quelconque de ${(a,b)}$ en intervalles partiels, tendent vers zéro quand les intervalles employés tendent vers zéro.

La corde ${(t_{1},t_{2})}$ a une longueur $\delta$ qui vérifie les inégalités

$a=(t_{2}-t_{1}){\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}\leqq \delta \leqq (t_{2}-t_{1}){\sqrt {\mathrm {L} ^{2}+\mathrm {M} ^{2}+\mathrm {N} ^{2}}}=\mathrm {A}$.

Donc un polygone inscrit a une longueur comprise entre les sommes $\textstyle \sum a$, $\textstyle \sum \mathrm {A}$ correspondantes. Si l’on fait tendre vers zéro, les longueurs des côtés du polygone $\textstyle \sum \mathrm {A}$ et $\textstyle \sum a$ tendent vers une même limite, car l’on a

${\begin{aligned}\textstyle \sum \mathrm {A} -\sum a\leqq \sum (t_{2}-t_{1})(\mathrm {L} -l)&+\textstyle \sum (t_{2}-t_{1})(\mathrm {M} -m)\\&+\textstyle \sum (t_{2}-t_{1})(\mathrm {N} -n){\text{.}}\end{aligned}}$

La limite de $\textstyle \sum \mathrm {A}$ et $\textstyle \sum a$ est la longueur de la courbe. Mais, puisque l’intégrale ${\int _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t}$, qui existe d’après nos hypothèses, est toujours comprise entre $\textstyle \sum a$ et $\textstyle \sum \mathrm {A}$, nous pouvons conclure que, si $x',y',z'$ existent et sont intégrables, la longueur de l’arc ${(a,b)}$ est

$\int _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t$.

Le raisonnement précédent montre aussi que si $f'(x)$ existe sans être intégrable, et nous verrons que cela est possible, la longueur de la courbe ${y=f(x)}$ est comprise entre les intégrales par défaut et par excès de ${\sqrt {1+{f'}^{2}}}$.

Nous obtiendrons la généralisation de cette proposition, ainsi qu’un résultat relatif au cas où ${\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}$ est une dérivée, à l’aide des considérations qui suivent.

On suppose que $x',y',z'$ existent ; alors, du point $x_{0},y_{0},z_{0},t_{0}$, quel qu’il soit, comme origine, on peut tracer une corde dont la longueur ${\sqrt {\delta x_{0}^{2}+\delta y_{0}^{2}+\delta z_{0}^{2}}}$ diffère de ${\varepsilon \,\delta t_{0}}$, de la quantité