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Scheeffer^[1], puis continuée par Jordan^[2] à qui l’on doit le résultat suivant :

Pour qu’une courbe soit rectifiable, il faut et il suffit que les fonctions $x(t),y(t),z(t)$ qui la définissent soient à variation bornée.

En effet, un côté quelconque d’un polygone inscrit dans la courbe est de longueur au moins égale à chacune des projections $\delta _{x},\delta _{y},\delta _{z}$ de ce côté sur les axes, et de longueur au plus égale à ${\delta _{x}+\delta _{y}+\delta _{z}}$. Mais la somme des projections $\delta _{x}$ est la variation $v_{x}$ de la fonction $x(t)$ pour les valeurs de $t$ correspondant aux sommets^[3]. La longueur du polygone est donc supérieure à $v_{x}$, $v_{y}$ et $v_{z}$ et inférieure à ${v_{x}+v_{y}+v_{z}}$ ; la propriété est démontrée.

De plus la longueur de l’arc de $t_{0}$ à $t$ ($t>t_{0}$) d’une courbe rectifiable est une fonction continue non décroissante de $t$, puisque l’accroissement de cet arc, dans un intervalle quelconque, est compris entre les accroissements de $v_{x}$ et ${v_{x}+v_{y}+v_{z}}$.

Pour calculer la longueur d’une courbe, on pourra se servir de polygones ayant une infinité de sommets correspondant à des valeurs de $t$ formant un ensemble réductible ; car le raisonnement du début s’applique à ces polygones.

Une courbe rectifiable plane est quarrable, car si on la divise en $n$ morceaux de longueur égale à ${\frac {s}{n}}$, chacun d’eux peut être enfermé dans une circonférence de rayon ${\frac {s}{2n}}$, et la sommet ${\frac {\pi s^{2}}{4n^{2}}}$ des aires de ces cercles tend vers zéro avec ${\frac {1}{n}}$.

Supposons que $x(t),y(t),z(t)$ aient des dérivées intégrables ; alors $|x'(t)|,|y'(t)|,|z'(t)|$ sont aussi intégrables, car on peut écrire

${x'}^{2}=u$,$|x'|=+{\sqrt {u}}$,

1. Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven (Acta mathematica, t. V).
2. Cours d’Analyse, t. I, 2^e édition. Scheeffer et Jordan ont aussi examiné le cas où $x(t),y(t),z(t)$ ne sont pas continues.
3. La courbe ${x=x(t),y=0,z=0}$, qui sert dans ce raisonnement, est dite la projection sur $ox$ de la courbe donnée ; la projection sur $xoy$ est ${x=x(t),y=y(t),z=0}$.