Scheeffer[1], puis continuée par Jordan[2] à qui l’on doit le résultat suivant :
Pour qu’une courbe soit rectifiable, il faut et il suffit que les fonctions qui la définissent soient à variation bornée.
En effet, un côté quelconque d’un polygone inscrit dans la courbe est de longueur au moins égale à chacune des projections de ce côté sur les axes, et de longueur au plus égale à . Mais la somme des projections est la variation de la fonction pour les valeurs de correspondant aux sommets[3]. La longueur du polygone est donc supérieure à , et et inférieure à ; la propriété est démontrée.
De plus la longueur de l’arc de à () d’une courbe rectifiable est une fonction continue non décroissante de , puisque l’accroissement de cet arc, dans un intervalle quelconque, est compris entre les accroissements de et .
Pour calculer la longueur d’une courbe, on pourra se servir de polygones ayant une infinité de sommets correspondant à des valeurs de formant un ensemble réductible ; car le raisonnement du début s’applique à ces polygones.
Une courbe rectifiable plane est quarrable, car si on la divise en morceaux de longueur égale à , chacun d’eux peut être enfermé dans une circonférence de rayon , et la sommet des aires de ces cercles tend vers zéro avec .
Supposons que aient des dérivées intégrables ; alors sont aussi intégrables, car on peut écrire
- ↑ Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven (Acta mathematica, t. V).
- ↑ Cours d’Analyse, t. I, 2e édition. Scheeffer et Jordan ont aussi examiné le cas où ne sont pas continues.
- ↑ La courbe , qui sert dans ce raisonnement, est dite la projection sur de la courbe donnée ; la projection sur est .