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II. — Les courbes rectifiables.

Soit une courbe $\mathrm {C}$ définie dans ${(a,b)}$

$x=x(t)$,$y=y(t)$,$z=z(t)$.

Considérons un polygone $\mathrm {P}$ inscrit dans cette courbe et dont les sommets, dans l’ordre où ils se rencontrent sur $\mathrm {P}$, correspondent à des valeurs croissantes de $t$^[1], $a,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{p},b$. On peut considérer $\mathrm {P}$ comme une courbe définie dans ${(a,b)}$ à l’aide de fonctions $\xi (t),\eta (t),\zeta (t)$ égales à $x(t),y(t),z(t)$ pour les valeurs $a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{p},b$ de $t$.

Ceci posé, soient deux suites de polygones inscrits dans $\mathrm {C}$, $\mathrm {P} _{i}$ et $\pi _{j}$, choisis tels que le maximum des différences ${t_{k}-t_{k-1}}$ tende vers zéro avec ${\frac {1}{i}}$ d’une part, avec ${\frac {1}{j}}$ d’autre part. La longueur d’un polygone étant la somme des longueurs de ses côtés, nous allons comparer la longueur $s_{i}$ de $\mathrm {P} _{i}$ à celle $\sigma _{j}$ de $\pi _{j}$.

Supposons que deux sommets consécutifs $m_{1},m_{2}$ de $\mathrm {P} _{i}$ correspondent à ${t=\theta _{1}}$ et ${t=\theta _{2}}$. Les points de $\pi _{j}$, $\mu _{1},\mu _{2}$, qui correspondent à ces valeurs de $t$ tendent, quand $j$ augmente indéfiniment, vers $m_{1},m_{2}$ ; la plus petite des limites, pour $j$ infini, de la longueur de l’arc ${\mu _{1}\mu _{2}}$ est donc au moins égale à la longueur du côté ${m_{1}m_{2}}$. Mais ceci est vrai pour chaque côté, et la plus petite limite des $\sigma _{j}$ est au moins égale à $s_{i}$. Par suite les longueurs $s_{i}$ et $\sigma _{j}$ tendent vers la même limite quand $i$ et $j$ augmentent indéfiniment, et elles sont toujours inférieures à leur limite.

Lorsque le maximum de la longueur des côtés d’un polygone inscrit dans une courbe tend vers zéro, la longueur de ce polygone tend vers la limite supérieure des longueurs des polygones inscrits dans la courbe. C’est cette limite que l’on appelle la longueur de la courbe.

Une courbe est dite rectifiable si elle est de longueur finie. L’étude des courbes rectifiables a été entreprise par Ludwig

1. Quand nous parlerons d’un polygone inscrit dans une courbe, nous supposerons toujours cette dernière condition remplie.