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plus générale à partir de deux fonctions croissantes : tous les points de discontinuité d’une fonction à variation bornée sont de première espèce.

Soit $x_{0}$ un point de discontinuité ; la quantité

$s_{g}(x_{0})=f(x_{0})-f(x_{0}-0)$

est le saut de la fonction à gauche de $x_{0}$ ;

$s_{d}(x_{0})=f(x_{0}+0)-f(x_{0})$

est le saut à droite de $x_{0}$, enfin

$s(x_{0})=f(x_{0}+0)-f(x_{0}-0)$

est le saut au point $x_{0}$.

Ceci posé, considérons la fonction des sauts de $f(x)$

$\varphi (x)=\sum _{a\leqq x_{i}<x}s_{d}(x_{i})+\sum _{a<x_{i}\leqq x}s_{g}(x_{i})$,

où chacune des séries contient tous les $x_{i}$ qui satisfont à l’inégalité placée au-dessous du signe $\textstyle \sum$ correspondant. On verra aisément que ces deux séries sont absolument convergentes et que, si l’on pose

$f(x)=\varphi (x)+\psi (x)$,

$\psi (x)$ est une fonction continue à variation bornée ; la variation totale de $f$ étant la somme de celles de $\varphi$ et de $\psi$.

La fonction discontinue la plus générale qui soit à variation bornée s’obtient donc, soit en faisant la différence de deux fonctions discontinues croissantes, soit en ajoutant à une fonction continue à variation bornée la fonction des sauts $\varphi (x)$. Cette seconde méthode montre qu’on peut construire des fonctions à variation bornée en choisissant à volonté l’ensemble dénombrable des points de discontinuité, et même les sauts de droite et de gauche $s_{d}$ et $s_{g}$, pourvu que les séries $\textstyle \sum s_{d}(x)$, $\textstyle \sum s_{g}(x)$ soient absolument convergentes.

Par exemple, l’ensemble des points de discontinuité pourra être l’ensemble des nombres rationnels, les sauts étant, quand $x$ s’écrit ${\frac {a}{b}}$ sous forme irréductible,

$s_{d}=(-1)^{a}{\frac {1}{a^{2}b^{2}}}$,$s_{d}=(-1)^{b}{\frac {1}{a^{3}b^{3}}}$.