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La fonction ${f_{1}+{\frac {1}{2^{2}}}f_{2}}$ a, dans chaque intervalle ${(\alpha ,\beta )}$, une infinité de maxima et de minima ; en effet, si ${f_{1}=a}$, elle est à variation non bornée dans ${(\alpha ,\beta )}$ et si ${f_{1}=b}$, $f_{1}$ a une dérivée bornée dans ${(\alpha ,\beta )}$, tandis que la dérivée de $f_{2}$ prend toutes les valeurs positives et négatives. Soit $\mathrm {E} _{2}$ l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles ${f_{1}+{\frac {1}{2^{2}}}f_{2}}$ est maximum ou minimum.

En opérant, à partir de ${\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}}$, comme à partir de $\mathrm {E} _{1}$, on formera $f_{3}$, d’où ${f_{1}+{\frac {1}{2^{2}}}f_{2}+{\frac {1}{3^{2}}}f_{3}}$ et $\mathrm {E} _{3}$^[1].

En continuant ainsi, on définit les différents termes de la série

$f(x)=f_{1}(x)+{\frac {1}{2^{2}}}f_{2}(x)+{\frac {1}{3^{2}}}f_{3}(x)+\ldots$,

qui est uniformément convergente, car $|f_{i}|$ est inférieure à 1.

La fonction continue $f(x)$ a des maxima et des minima dans tout intervalle. Dans un intervalle quelconque ${(l,m)}$, en effet, pourvu que $n$ soit assez grand, il y a plus de deux points de $\mathrm {E} _{n}$. Supposons qu’il y ait les trois points consécutifs $r$, $s$, $t$ de $\mathrm {E} _{n}$, $f$ étant égale à $f_{n}$ pour ces trois points, $f$ aura un maximum ou un minimum, au moins, entre $r$ et $t$, suivant que $s$ correspond à un maximum ou à un minimum.

De là résulte aussi que la variation totale de $f$ est au moins égale à celle de $s_{n}$, donc $f$ est à variation non bornée dans tout intervalle si ${f_{1}=a}$. Au contraire si ${f_{1}=b}$, la variation totale de ${s_{n}=f_{1}+{\frac {1}{2^{2}}}f_{2}+\ldots +{\frac {1}{n^{2}}}f_{n}}$ étant finie et inférieure à ${\mathrm {V} \left(1+{\frac {1}{2^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$, $f$ est à variation bornée dans tout intervalle (voir p. 51).

Occupons-nous maintenant des fonctions discontinues à variation bornée.

Voici une propriété des points singuliers, qu’il était facile d’ailleurs de mettre directement en évidence, et qui résulte immédiatement de la construction de la fonction à variation bornée la

1. Pour être tout à fait rigoureux, il faudrait démontrer que la somme des longueurs des intervalles contigus à $\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}$, intervalles qui jouent le rôle des ${(\alpha ,\beta )}$, est égale à 2 comme la somme des différences ${\beta -\alpha }$. Cela est presque évident et résulte, si l’on veut, de ce que $\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}$ est d’étendue extérieure nulle.