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Lorsqu’il s’agit d’une fonction continue, le nombre $u$, comme le nombre $v$, tend uniformément vers la variation totale, quand le maximum $\lambda$ de la longueur des intervalles contigus à $\mathrm {E}$ tend vers zéro.

La série $u$ étant convergente, la série ${\textstyle \sum \left[f(x_{i})-f(x_{i-1})\right]}$, étendue à tous les intervalles contigus à $\mathrm {E}$, est absolument convergente. On peut donc parler de la somme de ses termes positifs et de la somme de ses termes négatifs, ces deux sommes peuvent servir à définir $\mathrm {P}$ et $-\mathrm {N}$ quand $\lambda$.

Il est important de remarquer qu’on ne peut pas remplacer l’ensemble réductible $\mathrm {E}$ par un ensemble non dense quelconque sans que certaines des propriétés précédentes cessent d’être vraies. Soit, en effet, la fonction $\xi (x)$ définie par

$2\xi (x)={\frac {a_{1}}{2}}+{\frac {a_{2}}{2^{2}}}+{\frac {a_{3}}{2^{3}}}+\ldots$,

quand

$x={\frac {a_{1}}{3}}+{\frac {a_{2}}{3^{2}}}+{\frac {a_{3}}{3^{3}}}+\ldots$,

où les $a$ sont égaux à 0 ou à 2. $x$ appartient alors à l’ensemble $\mathrm {Z}$. On vérifie immédiatement que, pour les deux extrémités d’un intervalle contigu à $\mathrm {Z}$, $\xi$ prend la même valeur ; nous assujettissons $\xi$ à rester constante dans un tel intervalle. $\xi (x)$ est maintenant partout définie ; c’est une fonction non décroissante et, cependant, on trouvera zéro pour $u$, si, parmi les points de division employés, se trouvent les points de $\mathrm {Z}$.

Je terminerai en donnant quelques exemples des diverses particularités qui ont été signalées.

La fonction $x\sin {\frac {1}{x}}$ est égale à ${(-1)^{\mathrm {K} +1}{\frac {1}{\mathrm {K} \pi -{\frac {\pi }{2}}}}}$ pour ${x={\frac {1}{\mathrm {K} \pi -{\frac {\pi }{2}}}}}$, donc, si l’on emploie ces valeurs de $x$ pour calculer $u$ dans l’intervalle ${\left(0,{\frac {1}{\pi }}\right)}$, on trouve

$u={\frac {1}{\mathrm {K} \pi -{\frac {\pi }{2}}}}+{\frac {2}{2\mathrm {K} \pi -{\frac {\pi }{2}}}}+{\frac {3}{3\mathrm {K} \pi -{\frac {\pi }{2}}}}+\ldots$,

et la fonction est à variation non bornée bien qu’elle soit continue. Pour une fonction continue nulle pour $x$ négatif, égale à $x\sin {\frac {1}{x}}$