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de $-x_{0}$ ; donc, en tant que fonction de $x$, elle est continue à droite de $x_{0}$. La fonction $\mathrm {V} (x)$ est donc continue.

La seconde partie de cette démonstration suppose essentiellement que la fonction est à variation bornée. Si $\mathrm {V} (x)$ devenait brusquement infinie pour ${x>x_{0}}$, et nous verrons que cela est possible, le symbole ${\mathrm {V} (b)-\mathrm {V} (x)}$ n’aurait aucun sens pour ${x>x_{0}}$.

Puisque $\mathrm {P} (x)$ et $\mathrm {N} (x)$ sont des fonctions continues, toute fonction continue à variation bornée est la différence de deux fonctions continues non décroissantes.

La variation $v$, pour la division $\mathrm {D}$, a été définie seulement dans le cas où $\mathrm {D}$ ne contient qu’un nombre fini d’intervalles ; pour la suite, il est utile d’étudier un cas où $\mathrm {D}$ comprend une infinité d’intervalles. C’est le cas où les points de division de $\mathrm {D}$ forment un ensemble fermé réductible $\mathrm {E}$ ; alors nous appellerons variation $u$, pour cette division, la somme de la série ${\textstyle \sum \left\vert f(x_{i})-f(x_{i-1})\right\vert }$, étendue à tous les intervalles ${(x_{i_{1}},x_{i})}$ contigus^[1] à $\mathrm {E}$.

Nous allons comparer l’ensemble des variations $u$ qui viennent d’être définies à l’ensemble des variations $v$ antérieurement définies.

L’ensemble des $u$ contient l’ensemble des $v$, donc la limite supérieure de l’ensemble des $u$ est au moins égale à la limite supérieure de l’ensemble des $v$. Il suffira de démontrer que $u$ est toujours inférieure à la variation totale pour qu’il soit prouvé que la limite supérieure des $u$ est la variation totale $\mathrm {V}$.

Soit ${(\alpha ,\beta )}$ un intervalle contigu à $\mathrm {E} '$. Soient $\alpha _{1}$ et $\beta _{1}$ deux points situés dans ${(\alpha ,\beta )}$ ; la contribution de ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$ dans ${\mathcal {U}}$ est au plus égale à celle qu’elle fournit dans $\mathrm {V}$, puisque $\mathrm {E}$ ne contient qu’un nombre fini de points dans ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$. Faisons tendre les points $\alpha _{1}$ et $\beta _{1}$ vers $\alpha$ et $\beta$, la proposition reste vraie et l’on trouve que ${(\alpha ,\beta )}$ fournit dans $\mathrm {V}$ une contribution au moins égale à celle qu’il donne dans $u$.

On prouvera de même que la proposition est vraie dans un intervalle contigu à $\mathrm {E} ''$, ou $\mathrm {E} ''',\ldots$ ; mais l’un des dérivés de $\mathrm {E}$ étant nul dans ${(a,b)}$, la proposition est vraie pour ${(a,b)}$.

Ainsi les $u$ peuvent remplacer les $v$.

1. Un intervalle ${(x_{i-1},x_{i})}$ est dit contigu à un ensemble $\mathrm {E}$ s’il ne contient pas de points de $\mathrm {E}$ et si ses extrémités font partie de $\mathrm {E}$ ou de $\mathrm {E} '$. La dénomination d’intervalle contigu est due à M. R. Baire.