Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1904.djvu/65

couvrent un intervalle dont l’origine est entre $x_{i}$ et ${x_{i}+\lambda _{j}}$ et dont l’extrémité est entre ${x_{i+1}-\lambda _{j}}$ et $x_{i+1}$. Les valeurs de $f(x)$ pour cette origine et cette extrémité diffèrent de $\varepsilon _{j}$ au plus des nombres $f(x_{i})$, $f(x_{i+1})$. La contribution dans $v'_{j}$ des intervalles considérés est donc au moins

$\left\vert f(x_{i+1})-f(x_{i})\right\vert -2\varepsilon _{j}$,

et la contribution de tous les $d'$ dans $v'_{j}$ est au moins égale à

$\textstyle \sum \left[\left\vert f(x_{i+i})-f(x_{i})\right\vert -2\varepsilon _{j}\right]=v_{i}-2n\varepsilon _{j}$,

si les points de division de $\mathrm {D} _{i}$ sont en nombre $n$. On a, à plus forte raison,

$v'_{j}\geqq v_{i}-2n\varepsilon _{j}$,

et l’une quelconque des limites des $v'_{j}$ est au moins égale à l’une quelconque des limites des $v_{i}$. Mais on peut permuter $v'_{j}$ et $v_{i}$, donc les $v'_{j}$ et les $v_{i}$ tendent vers une même limite bien déterminée.

Voici une conséquence immédiate de cette propriété : les trois variations totales d’une fonction continue à variation bornée sont des fonctions continues. Il suffit de le démontrer pour $\mathrm {V} (x)$ puisque $\mathrm {P} (x)$ et $\mathrm {N} (x)$ s’expriment immédiatement à l’aide de $f(x)$ et de $\mathrm {V} (x)$.

Pour calculer $\mathrm {V} (x_{0})$, j’emploie une division $a_{1},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{0}$ ; la variation $v$ correspondant à cette division est égale à celle correspondant à $a,x_{1},\ldots ,x_{n}$ plus ${\left\vert f(x_{0})-f(x_{n})\right\vert }$, $v$ est donc au plus égale à

$\mathrm {V} (x_{n})+\left\vert f(x_{0})-f(x_{n})\right\vert \leqq \mathrm {V} (x_{0}-0)+\left\vert f(x_{0})-f(x_{n})\right\vert$ ;

et, puisque ${f(x_{0})-f(x_{n})}$ tend vers zéro quand on fait tendre vers zéro le maximum des ${x_{i+1}-x_{i}}$, $\mathrm {V} (x_{0})$ est au plus égale à $\mathrm {V} (x_{0}-0)$. Mais $\mathrm {V} (x)$ est une fonction croissante, donc on a

$\mathrm {V} (x_{0})=\mathrm {V} (x_{0}-0)$,

la fonction est continue à gauche.

Étudions la variation totale de ${f_{1}(x)=f(-x)}$ entre $-b$ et $-x$, ($x<b$) ; cette variation totale est évidemment égale à

$\mathrm {V} (b)-\mathrm {V} (x)$.

Considérée comme fonction de $-x$, elle est continue à gauche