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variation totale positive, variation totale négative, sont liées par les mêmes relations que $v$, $p$, $n$.

Ceci posé, soient $\mathrm {V} (x)$, $\mathrm {P} (x)$, $\mathrm {N} (x)$ les trois variations totales dans ${(a,x)}$, (${x>a}$), on a

$f(x)=f(a)+\mathrm {P} (x)-\mathrm {N} (x)$.

Mais $\mathrm {P} (x)$ et $\mathrm {N} (x)$ ne peuvent pas décroître quand $x$ croît, donc le théorème annoncé est démontré.

On a, de plus,

$\mathrm {V} (x)=\mathrm {P} (x)+\mathrm {N} (x).$

Une fonction à variation bornée peut être mise d’une infinité de manières sous la forme d’une différence de deux fonctions croissantes. Si l’on ajoute à $\mathrm {P} (x)$ et $\mathrm {N} (x)$ une même fonction $\lambda (x)$ non décroissante, on obtient deux fonctions non décroissantes $\mathrm {P} _{1}(x)$ et $\mathrm {N} _{1}(x)$ telles que l’on ait

$f(x)=f(a)+\mathrm {P} _{1}(x)-\mathrm {N} _{1}(x)$.

On voit facilement que les fonctions non décroissantes $\mathrm {P} _{1}$ et $\mathrm {N} _{1}$ les plus générales satisfaisant à cette égalité sont celles qui viennent d’être construites.

Pour calculer la variation totale d’une fonction discontinue comme limite d’une suite de variations $v$, il faut choisir d’une manière très particulière les points de division ; par exemple, pour une fonction qui est partout nulle, sauf à l’origine, il faut que l’origine soit un point de division. Pour les fonctions continues, on a cette propriété : la variation d’une fonction continue, relative à une division quelconque, tend uniformément vers la variation totale de cette fonction quand le maximum $\lambda$ de la longueur des intervalles employés tend vers zéro.

Soient, en effet, deux suites de divisions $\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2},\ldots$ ; $\Delta _{1},\Delta _{2},\ldots$ pour lesquelles les $\lambda$ tendent vers zéro, et soit $\lambda _{j}$ la valeur de $\lambda$ pour $\Delta _{j}$. Le maximum de l’oscillation de $f(x)$ dans un intervalle d’étendue $\lambda _{j}$ est un nombre $\varepsilon _{j}$ qui tend vers zéro avec $\lambda _{j}$. Comparons les variations $v_{i}$, $v'_{j}$ relatives à $\mathrm {D} _{i}$ et $\Delta _{j}$.

Les intervalles de $\Delta _{j}$ étant toujours partagés en deux classes, soient $d'$ ceux qui ne contiennent aucun des points de division de $\mathrm {D} _{i}$. Considérons tous ceux des $d'$ qui sont entre $x_{i}$ et $x_{i+1}$, ils