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Des raisonnements analogues permettraient de démontrer que les opérations effectuées aux pages 30, sur des fonctions intégrables, donnent des fonctions à variation bornée quand elles sont effectuées sur des fonctions à variation bornée.

Mais il n’est pas vrai qu’une série uniformément convergente de fonctions à variation bornée donne nécessairement une fonction à variation bornée. La propriété qui remplace celle-là est la suivante :

La limite vers laquelle tend (uniformément ou non) une suite de fonctions à variations totales au plus égales à $\mathrm {M}$ est une fonction dont la variation totale est au plus égale à $\mathrm {M}$.

En effet, prenons une division de l’intervalle ; la variation correspondante pour les termes de la suite tend vers la variation relative à la fonction limite et à la division employée ; donc, cette variation est au plus égale à $\mathrm {M}$ et il en est de même de la variation totale de la fonction limite.

Ce qui précède nous permettrait de citer des fonctions à variation totale bornée. Une fonction croissante $f(x)$ est, en effet, une fonction à variation totale finie et égale à ${f(b)-f(a)}$ ; de même, une fonction décroissante est à variation bornée. Par suite, la différence de deux fonctions croissantes est une fonction à variation bornée. Nous allons démontrer maintenant la réciproque : toute fonction à variation bornée est la différence de deux fonctions jamais décroissantes.

Reprenons la variation

$v=\left\vert f(a_{1})-f(a_{0})\right\vert +\left\vert f(a_{2})-f(a_{1})\right\vert +\ldots +\left\vert f(a_{n})-f(a_{n-1})\right\vert$,

et soit $p$ la somme de celles des quantités ${f(a_{i})-f(a_{i-1})}$ qui sont positives et $-n$ la somme de celles qui sont négatifs. On a évidemment

$v=p+n$,$f(b)-f(a)=p-n$,

d’où

$v=2p+f(a)-f(b)$,$v=2n+f(b)-f(a)$,

$p$ est la variation positive pour la division choisie, $n$ la variation négative. Les deux dernières égalités montrent que les limites supérieures $\mathrm {V}$, $\mathrm {P}$, $\mathrm {N}$, de $v$, $p$, $n$, que l’on appelle variation totale,