Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1904.djvu/59

être considérée comme un nombre indéterminé dont les deux limites d’indétermination sont les étendues intérieure et extérieure de l’ensemble ; cela conduit, pour $\mathrm {I}$, aux deux limites d’indétermination

${\underline {\mathrm {I} }}=e_{i}[\mathrm {E} _{1}(f)]-e_{e}[\mathrm {E} _{2}(f)]$,${\overline {\mathrm {I} }}=e_{e}[\mathrm {E} _{1}(f)]-e_{i}[\mathrm {E} _{2}(f)]$.

Nous allons calculer ces deux limites d’indétermination et pour cela supposons d’abord que $f$ n’est jamais négative, c’est-à-dire que $\mathrm {E} _{2}$ ne contient aucun point. Le calcul des étendues intérieure et extérieure de $\mathrm {E}$ (ou $\mathrm {E} _{1}$) se fait comme dans le cas où $f$ est continue, c’est-à-dire que ces étendues sont les limites des deux nombres ${\underline {\mathrm {S} }}$ et ${\overline {\mathrm {S} }}$. Les étendues sont donc les intégrales par défaut et par excès de $f$.

Pour étudier le cas général posons ${f=f_{1}-f_{2}}$, où $f_{1}$ est égale à $f$ quand $f$ est positive ou nulle, et est nulle quand $f$ est négative. On a alors, évidemment,

$e_{i}[\mathrm {E} _{1}(f)]={\underline {\int f_{1}\,\mathrm {d} x}}$,$e_{e}[\mathrm {E} _{1}(f)]={\overline {\int f_{1}\,\mathrm {d} x}}$,

$e_{i}[\mathrm {E} _{2}(f)]={\underline {\int f_{2}\,\mathrm {d} x}}$,$e_{e}[\mathrm {E} _{2}(f)]={\overline {\int f_{2}\,\mathrm {d} x}}$,

donc

${\underline {\mathrm {I} }}={\underline {\int f_{1}\,\mathrm {d} x}}+{\underline {\int -f_{2}\,\mathrm {d} x}}$,${\overline {\mathrm {I} }}={\overline {\int f_{1}\,\mathrm {d} x}}+{\overline {\int -f_{2}\,\mathrm {d} x}}$,

Il est, en général, impossible de remplacer des sommes d’intégrales par excès ou par défaut par les intégrales par excès ou par défaut de la somme (p. 34), parce que le maximum d’une somme est, en général, plus petit que la somme des maxima des termes de la somme, tandis que le minimum est, généralement, plus grand que la somme des minima. Mais ici, dans tout intervalle, le maximum (ou le minimum) de ${f=f_{1}-f_{2}}$ est bien la somme des maxima (ou des minima) de $f_{1}$ et de $-f_{2}$. On peut donc écrire

${\underline {\mathrm {I} }}={\underline {\int f\,\mathrm {d} x}}$,${\overline {\mathrm {I} }}={\overline {\int f\,\mathrm {d} x}}$.

Nous retrouvons ainsi les intégrales de M. Darboux et nous avons leur signification géométrique.