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tendent, quand le maximum des $\delta$ tend vers zéro, vers des limites déterminées qui sont les étendues intérieure et extérieure du domaine. Or ${{\underline {\mathrm {S} }}-{\overline {\mathrm {S} }}}$ tend vers zéro, car les fonctions continues sont à oscillation moyenne nulle ; le domaine $ab\mathrm {BA}$ est donc quarrable.

Si nous employons la méthode du début, si nous appelons intégrale définie de $f$ dans ${(a,b)}$ l’aire de $ab\mathrm {BA}$, nous retrouvons l’intégrale de Cauchy. Il n’y a, entre cette définition et celle de Cauchy, que des différences de forme.

Dans le cas où $f(x)$ n’est pas toujours positive, la courbe $\mathrm {AB}$ rencontre l’axe des $x$ un nombre fini ou infini de fois et l’on a deux espèces de domaines, les uns au-dessus de $o\,x$, les autres au-dessous. Chacun de ces domaines est quarrable d’après ce qui précède.

La somme des aires de ceux qui sont au-dessus de $ox$, diminuée de la somme des aires de ceux qui sont au-dessous, est, par définition, l’intégrale de $f(x)$^[1].

Considérons maintenant une fonction $f(x)$ quelconque, définie dans l’intervalle positif ${(a,b)}$. Soit $\mathrm {E} (f)$ l’ensemble des points dont les deux coordonnées sont liées par la seule condition que $y$ ne soit pas extérieur à l’intervalle positif ou négatif $[0,f(x)]$. En d’autres termes, on a

$y\,f(x)\geqq 0$et$0\leqq y^{2}\leqq {\overline {f(x)}}^{2}$.

L’axe des $x$ partage cet ensemble en deux autres : les points situés au-dessus de $ox$ forment $\mathrm {E} _{1}[f(x)]$, ceux qui sont au-dessous forment $\mathrm {E} _{2}[f(x)]$. Quant aux points situés sur $ox$, on les mettra indifféremment dans $\mathrm {E} _{1}$ ou $\mathrm {E} _{2}$, cela importe peu dans la suite, car ils forment un groupe intégrable du plan.

Par analogie avec la définition précédente, il est naturel d’appeler intégrale de $f$ la différence

$\mathrm {I} =e[\mathrm {E} _{1}(f)]-e[\mathrm {E} _{2}(f)]$,

lorsque $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$ sont mesurables J.

Lorsqu’un ensemble n’est pas mesurable J, son étendue peut

1. Les deux sommes ou séries qui figurent dans cette définition existent bien, puisque l’ensemble de tous les domaines peut être enfermé dans une circonférence de rayon fini.