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(appartenant aussi à $\mathrm {Z}$ ), les $2n$ premiers chiffres $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2n}$ de $t$ , écrits dans le système de base 3, sont les mêmes que pour $\theta$ , c’est-à-dire que les $n$ premiers chiffres de $x(t)$ et $x(\theta )$ d’une part, de $y(t)$ et de $y(\theta )$ d’autre part, sont les mêmes quand on écrit ces coordonnées dans le système de base 2.

Notre courbe remplit bien tout le carré, elle passe même plusieurs fois par certains points. On démontre facilement qu’il n’en peut pas être autrement^[1].

Ce qui vient d’être fait dans le cas d’une et de deux dimensions peut évidemment être répété dans le cas d’un nombre quelconque de dimensions.

En particulier, dans le cas de trois dimensions, on définira le volume d’un domaine. Cela exigerait, au préalable, la définition précise d’une surface fermée et, pour la définition des domaines, des études analogues à celles de Jordan sur les courbes fermées.

II. — Définition de l’intégrale.

Soit une fonction $f(x)$ continue positive, définie dans un intervalle positif ${(a,b)}$ , et le domaine $ab\mathrm {BA}$ que nous lui avons attaché (fig. 1, p. 2). Cherchons si ce domaine est quarrable. Pour cela, divisons ${(a,b)}$ en intervalles partiels $\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{p}$ . Le plus grand rectangle, de base $\delta _{i}$ et dont tous les points font partie du domaine $ab\mathrm {BA}$ , a pour hauteur la limite inférieure $l_{i}$ de $f$ dans $\delta _{i}$ . Le plus petit rectangle, de base $\delta _{i}$ et qui contient tous les points du domaine qui se projettent sur $\delta _{i}$ , a pour hauteur la limite supérieure $\mathrm {L} _{i}$ de $f$ dans $\delta _{i}$ .

De ceci résulte que les deux sommes

{\underline {\mathrm {S} }}=\sum \delta _{i}l_{i}

,

{\overline {\mathrm {S} }}=\sum \delta _{i}\mathrm {L} _{i}

↑ On trouvera, au Chapitre VII (§ V), un exemple de l’emploi qu’on peut faire dans certains raisonnements de la courbe de Peano et des courbes analogues.
La courbe de Peano est mesurable J et d’étendue non nulle, elle ne peut servir à limiter un domaine. Il existe des courbes sans point multiple et non quarrables ; ces courbes ne sont pas mesurables J, elles peuvent servir à limiter des domaines non quarrables. Voir W.-F. Osgood, A Jordan curve of positive area (Trans. of the Amer. Mat. Soc., 1903) ou H. Lebesgue, Sur le problème des aires (Bull. de la Soc. math. de France, 1903).

[1] On trouvera, au Chapitre VII (§ V), un exemple de l’emploi qu’on peut faire dans certains raisonnements de la courbe de Peano et des courbes analogues.
La courbe de Peano est mesurable J et d’étendue non nulle, elle ne peut servir à limiter un domaine. Il existe des courbes sans point multiple et non quarrables ; ces courbes ne sont pas mesurables J, elles peuvent servir à limiter des domaines non quarrables. Voir W.-F. Osgood, A Jordan curve of positive area (Trans. of the Amer. Mat. Soc., 1903) ou H. Lebesgue, Sur le problème des aires (Bull. de la Soc. math. de France, 1903).

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