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Parmi les ensembles non mesurables J dans le plan se trouvent des courbes non quarrables, c’est-à-dire dont l’étendue extérieure n’est pas nulle ; mais toute courbe non quarrable n’est pas nécessairement non mesurable J.

M. Peano a construit le premier une courbe qui passe par tous les points d’un carré ; M. Hilbert a ensuite indiqué une méthode géométrique simple permettant de construire de telles courbes ; toutes ces courbes sont non quarrables^[1].

Pour avoir une courbe passant par tous les points du carré ${0\leqq x\leqq 1}$ , ${0\leqq y\leqq 1}$ , définie en fonction d’un paramètre $t$ variant de 0 à 1, je pose

{\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}\left({\frac {a_{1}}{2}}+{\frac {a_{3}}{2^{2}}}+{\frac {a_{5}}{2^{3}}}+\ldots +{\frac {a_{2n-1}}{2^{n}}}+\ldots \right),\\y&={\frac {1}{2}}\left({\frac {a_{2}}{2}}+{\frac {a_{4}}{2^{2}}}+{\frac {a_{6}}{2^{3}}}+\ldots +{\frac {a_{2n}}{2^{n}}}+\ldots \right),\end{aligned}}

quand

t={\frac {a_{1}}{3}}+{\frac {a_{2}}{3^{2}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{3^{n}}}+\ldots

.

où les $a_{i}$ sont égaux à 0 ou 2. Alors $t$ fait partie de l’ensemble $\mathrm {Z}$ de la page 26.

Soit une valeur de $t$ non contenue dans $\mathrm {Z}$ , alors elle fait partie de l’un des intervalles qui ont été enlevés dans la construction de $\mathrm {Z}$ ; soit ${(t_{0},t_{1})}$ cet intervalle. Aux points $t_{0}$ et $t_{1}$ de $\mathrm {Z}$ correspondent les valeurs ${x_{0},y_{0}}$ ; ${x_{1},y_{1}}$ ; alors on pose, pour tout l’intervalle ${(t_{0},t_{1})}$ :

x=x_{0}+{\frac {x_{1}-x_{0}}{t_{1}-t_{0}}}(t-t_{0})

,

y=y_{0}+{\frac {y_{1}-y_{0}}{t_{1}-t_{0}}}(t-t_{0})

Dans ${(t_{0},t_{1})}$ la courbe se réduit donc à un segment.

Notre courbe est complètement définie ; mais, pour parler de courbe, il faut démontrer que $x$ et $y$ sont des fonctions continues de $t$ dans (0, 1). Il suffit évidemment pour cela de le démontrer seulement pour les fonctions $x$ et $y$ de $t$ définies sur $\mathrm {Z}$ . Et cela résulte du fait que, si $t$ (appartenant à $\mathrm {Z}$ ) est assez voisin de $\theta$

↑ Peano, Sur une courbe qui remplit toute une aire (Math. Ann., Bd XXXVI). — Hilbert, Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück (Math. Ann., Bd XXXVIII).

[1] Peano, Sur une courbe qui remplit toute une aire (Math. Ann., Bd XXXVI). — Hilbert, Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück (Math. Ann., Bd XXXVIII).

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