Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1904.djvu/55

que deux quelconques de ses points puissent être joints par une courbe ne passant que par des points de l’ensemble ; nous savons en effet qu’un segment, un polygone, une circonférence, une ellipse sont d’étendue superficielle extérieure nulle.

Les courbes qui sont des groupes intégrables sont celles que nous avons appelées quarrables.

Pour avoir un ensemble non mesurable J, il suffit de prendre un ensemble partout dense qui ne contienne aucun intervalle, s’il s’agit d’un ensemble sur la droite ; qui ne contienne aucun domaine, s’il s’agit d’un ensemble dans le plan ; pour un tel ensemble, en effet, l’étendue intérieure est nulle, l’étendue extérieure ne l’est pas. L’ensemble des points dont les coordonnées (ou la coordonnée) sont rationnelles n’est donc pas mesurable J.

P. du Bois-Reymond a remarqué qu’un ensemble peut être partout non dense sans être mesurable J. Prenons une suite de fractions, $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$, telles que le produit infini ${\mathrm {P} =\alpha _{1}\times \alpha _{2}\times \ldots }$ soit convergent et différent de zéro ; on prendra, par exemple, $\alpha _{n}={\frac {4n^{2}-1}{4n^{2}}}$. Divisons l’intervalle ${(a,b)}$ en trois parties, celle du milieu étant de longueur ${(b-a)(1-\alpha _{1})}$, les deux extrêmes étant égales. Barrons les points intérieurs à l’intervalle du milieu et opérons sur les deux intervalles restants comme sur ${(a,b)}$, $\alpha _{1}$ étant remplacé par $\alpha _{2}$, et ainsi de suite. Soit $\mathrm {R}$ l’ensemble des points restant après toutes ces opérations. Si l’on se sert des divisions successives qui ont donné $\mathrm {R}$ pour calculer l’étendue extérieure de $\mathrm {R}$, on voit que cette étendue est ${\mathrm {P} (b-a)}$, donc qu’elle est différente de zéro. Or l’étendue intérieure est nulle, puisque $\mathrm {R}$ est partout non dense, $\mathrm {R}$ n’est pas mesurable J^[1].

Une construction tout à fait analogue peut être faite dans le cas du plan ; on pourra, par exemple, diviser un rectangle, par deux séries de trois parallèles à ses côtés, en neuf rectangles et barrer les points intérieurs à celui du milieu, qu’on choisira de manière que son aire soit ${(1-\alpha _{1})}$ fois celle du rectangle primitif. Puis on opérera sur chacun des huit rectangles restants en remplaçant $\alpha _{1}$ par $\alpha _{2}$.

1. Si l’on avait ${\alpha _{n}={\frac {2}{3}}}$, on aurait l’ensemble $\mathrm {Z}$ qui est mesurable J, parce que $\mathrm {P}$ est nul.