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l’ensemble des ensembles de points et, comme il ne peut évidemment avoir une puissance supérieure, il a exactement cette puissance^[1].

Un autre exemple d’ensemble mesurable J linéairement nous est fourni par un nombre fini d’intervalles. Si d’un tel ensemble on retire un groupe intégrable, il reste un ensemble mesurable J, l’étendue n’a pas varié.

On verra facilement que l’ensemble mesurable J le plus général ne diffère d’un ensemble mesurable J, formé par une infinité dénombrable d’intervalles, que par l’addition d’un certain groupe intégrable $\mathrm {G} _{1}$, et par la soustraction d’un autre groupe intégrable $\mathrm {G} _{2}$^[2].

Il est facile aussi de citer des ensembles mesurables J superficiellement. Tout ensemble borné $\mathrm {Z} _{1}$, se projetant sur l’axe des $x$ suivant l’ensemble $\mathrm {Z}$, de manière qu’à chaque point de $\mathrm {Z}$ ne corresponde qu’un point de $\mathrm {Z} _{1}$, est un ensemble mesurable J de mesure superficielle nulle. Les ensembles de mesure superficielle extérieure nulle jouent, dans la théorie des intégrales doubles, au sens de Riemann, le même rôle que les groupes intégrables sur une droite ; on peut les appeler les groupes intégrables du plan.

Un carré est un ensemble mesurable J superficiellement. À partir de carrés et de groupes intégrables dans le plan, on construit tout ensemble mesurable J du plan comme on l’a fait dans le cas de la droite.

Les groupes intégrables du plan peuvent être assez différents des groupes intégrables de la droite. $\mathrm {Z_{1}}$ est, comme $\mathrm {Z}$, un ensemble discret ; c’est-à-dire qu’on ne peut passer par un chemin continu d’un point à un autre de cet ensemble qu’en passant par des points qui ne sont pas de l’ensemble. Mais un groupe intégrable dans le plan peut être un ensemble continu, c’est-à-dire un ensemble tel

1. Il est fait usage ici d’un théorème très important sur la comparaison des puissances dont on trouvera dans la Note I des Leçons sur la théorie des fonctions de M. Borel une démonstration due à M. Bernstein. Ce théorème est souvent utile ; on peut l’énoncer ainsi :

   Si un ensemble $\mathrm {E}$ contient un ensemble $\mathrm {E} _{1}$ et est contenu dans un ensemble $\mathrm {E} _{2}$, $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$ ayant même puissance, $\mathrm {E}$, $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$ ont même puissance.

2. Si par points d’un intervalle on entend les points intérieurs à cet intervalle, la considération de $\mathrm {G} _{2}$ est même inutile.